è convergente , è pure convergente l'integrale 



(fi) 



co 



e~ x f(x) dx; 



si ha inoltre 



00 



lira e~ x f(x) = . 



Il teorema è evidentemente valido anche nel caso in cui la f(x) sia 

 funzione, oltre che di x , anche di un parametro s variabile in un intervallo 

 finito (ab); potremo perciò dire che, se, per ogni valore di s in (ab), l'inte- 

 grale [oc] converge, convergerà del pari 1 integrale [/?] e sarà inoltre va- 

 lida la [y]. 



3. Supposto che le funzioni K(st) ed u(s) siano entrambe limitate e 

 continue, la prima entro il campo a~s = b , a — t ^-b e la seconda 

 entro l'intervallo finito (ab), si dimostra con facilità che la serie S(s , x) 

 del numero precedente, relativa alla serie [3] , è sempre convergente, per 

 ogni x £È finito, in modo assoluto ed indipendentemente da s . Si ha in- 

 vero, se M è un numero finito e positivo, 



a 



a 



ed, in generale, 



|K„(M)|<M»(* -a) 



,n—l 



Se quindi è \u(s) \ <^m , avremo 



a 



a) n m ; 



ed anche posto | X \ M (b — a) = q , 



M*)l = y U| r |«r(«) 



n 



ed ancora, se p è un numero intero e positivo qualunque, 



