da cui risulta che per la serie [3] è sempre soddisfatta la prima delle due 

 condizioni poste per la sua sommabilità in (ab), ed inoltre che la serie 

 S(s,x) è convergente uniformemente rispetto ad s, per ogni x = finito, 

 e perciò integrabile termine a termine, rispetto a questa variabile, nell' in- 

 tervallo (ab). 



Gioverà poi qui notare che la serie 



OC oc^ 

 v(sx) = u {s) — Xui(s) x + X* 1 u 2 (s) — — X z m 3 (s) — -j , 



che il Borei chiamò associata, converge anch'essa in modo assoluto ed uni- 

 forme rispetto ad s, per ogni valore finito di %ì=0, come si vede subito 

 dalla relazione 



\v(s ,x)|^y|2| r | u r (s) \~<m^ = me?* . 



E poi evidente che si potrà applicare ad essa la derivazione termine a ter- 

 mine rispetto ad x : sarà cioè 



[5] v' (s , x) = — Xui(s) -f- X i u z {s) x — X 3 u z (s) — -| 



4. Supposto che la funzione e~ x S(s,x) convenga al suo limite S(s) in- 

 dipendentemente da s, sostituiamo nel secondo membro della [1] l'espres- 

 sione e~ cc S(s,x) alla funzione incognita h(s); osservando che 



X I K(s,t)c n (l)dl = — tf»+i(s) + tf (.«), 



avremo : 



S(s , x) — X \ l> K(s,t) e~ o: S(t , x) dt 

 Ja 



» ~<r oo „r 



= «-* y <r,(s) — - en* Y (a r+ì (s) — ff (s) ) — = 



ri f=ó ri 



00 ^.f 



== <r {s) — e~* >_ [<r r+1 (s) - <r r (s)] — = 



r=o ' • 



== u (s) — — Xuì(s) -f- A 2 m 2 (ò')^ — ^ 3 m 3 (s)^-| ~j; 



e quindi, per la [5], 



Cb 



[6] e~ x S(s,x) — X ) K(«,<)*~" S(^)r// = Mo (s)— e~*v'(s,x). 



Poiché la [3], per le ipotesi fatte, è sommabile in (ab), esisterà finito 

 e determinato il limite per x — > oo del primo membro, potendosi inveì'- 



