tire i segni di limite e di integrale, in grazia della supposta convergenza 

 uniforme della funzione e~ x S(s,x) verso il suo limite; esisterà quindi, pure 

 determinato e finito, il lim e~ x v'(s,x). 



X — >00 



5. Indicando ora con S'(s,x) la derivata della funzione S(s,^) rispetto 

 ad x , si può scrivere 



cioè 



ed essendo 



e~ x [S' {s,x) — S(s , x)~\ = e~ x v'{s , ) , 



— e x S (s , x) = y' (s , x) ; 



[^S(s-,a;)]- =0 = S(s) = u (s) , 



avremo anche 



[7] S(s) — M (s) = f y r (s,x) ; 



da cui integrando per parti 



reo 

 e~ x v"{s,x)dx , 



dove v"(s,x) indica la derivata della v'(s,x) rispetto ad x. 



Esistendo, per quanto osservammo più sopra, finito e determinato 



il lim \_e~ x v'(s ,x)~] , l'integrale improprio del secondo membro Sarà Conver- 

 sero 



gente ; pel citato teorema di Hardy sarà allora 



lim [e~ x v' (s , #)] = ; 



a;=co 



e la funzione lim e~ x S (s , x) sarà per la [6] una soluzione della [1]. 



«•=00 



6. Integrando per parti l' integrale del secondo membro della [7] , si 

 ottiene: 



00 /"» 00 



e~ x v' (s ,x) dx = [e~ x v(s ,xJ]o e~ x v(s ,x) dx ; 







e poiché l' integrale del primo membro è finito, convergerà, pel teorema di 

 Hardy, anche quello del secondo; sarà inoltre 



lim e~ x v{s,x) = 0. 



Si ha così dalla [7]: 



e-*y(s,a;) 







