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Possiamo quindi affermare che se la funzione e~ x §(s,x), relativa alla 

 serie [3] , tende per x — > oc ad un limite determinato e finito indipen- 

 dentemente da s, questo limite sarà una soluzione dell'equazione [1]. 



7. Come esempio, consideriamo l'equazione 



1 f 277 



cos s = h(s) -f- ~ ^ (s -f- cos t) h(t) dt . 



Essendo 



u (s) = cos s ; Ui(s) = tt ; u n (s) = (27r 2 ) n_1 s (« = 2,3, ...) , 



la serie 



£ o (-irA«M 5 )=-cos S -^ + ^-^ + ^_ 2 | i +... 



è indeterminata. Essa però soddisfa alla condizione enunciata al numero 

 precedente; e poiché si ha 



ry-> O / O" ^ ^3 /y> 4 \ 



^^) = cos«- — + — ^--- + --- ; .j = 

 la [8] ci darà ia soluzione 



ft(s) = S(s) = 



==£ .-[COS , - £ + JL + - 1)]** = 008*-^+^, 



la quale, come facilmente si verifica, soddisfa la [1]. 



8. Per dimostrare che la sommabilità della serie [4] è condizione suffi- 

 ciente affinchè questa possa rappresentare una soluzione della [2], basterà 

 provare che ogni serie di funzioni convergente in modo assoluto ed uni- 

 forme in un intervallo finito {a b) è sempre sommabile in esso ; e la sua 

 nuova somma coincide con l'antica. 



Abbiasi infatti la serie y a n (s) di funzioni definite in (ab) conver- 

 go 



gente in modo assoluto ed uniforme ; e sia V(s) la sua somma secondo l'an- 

 tica definizione. 



Consideriamo la funzione corrispondente S(s,x): 



x 2 



S (S , x) = a (s) + [«,(«) + «!(•?)] X + [«„(*) -f- a,(s) + «»(«)] q! + = 

 = a (s)e x +a l {s) • r + 2 l + 3~l + --- J + 



+ ^[2^ + fi +•••] + " 

 = «o(s) e 35 + «,(«) (e* — 1) + o,(«) (e* — 1 — te) -f- 



+ a s (s) (e* — 1 — x — -h 



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