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Essendo, per x = , i coefficienti delle a n (s) tutti positivi e minori 

 di e x , avremo 



\S(s,x)\<e*f \a„(s)\, 



la funzione S(s ,x) sarà quindi convergente per ogni x = e finito; e poiché 



\im\e-*S{s,w)\<:f |a B (*) |, 



la serie data è sommabile (n (ab). \ 

 Ora essendo 



V(s) — e~ x S(s , x) = e~ x |~«i(s) + «»(*) (1 + a;) + 



+« 3 ( S )(i+,+f;)+ a ^)(i+^+^+^)+----]== 



= £ | Y(s) - «,(«) | + | Y(s) - «,(*) — «,(«) | a + 



]• 



+ ; v(#) - «o( S ) - «,(») - «*(«) ; |j + 



posto 



V(s) — a (s) — «!(«) a n (s) = R n (s) , 



sarà anche 



V (s) — e-* S (s , # ) = e-* Y R r (s) — ; 



la quale può anche scriversi, se w è un numero finito qualunque, 



V(s) — e~ x S{s,x)= e~* V R r (s) ^ + e"* 7 R r (s) =- . 



Per la convergenza uniforme della serie data, potrà determinarsi un 

 numero m positivo e finito tale che, per ogni r -=É. m , sia | R r (s) | < — ; 



essendo — una quantità positiva arbitrariamente piccola ; sarà, con ciò, per 



a 



ogni x ^ e finito, 



00 



| e~ x V R r (s) 



r=m-»-l 



r! 



D'altra parte, essendo, per ogni r finito, lim e cc x r = Q, si potrà tro- 



!T=00 



vare un valore finito x x di ^ tale che per x~^> x x , si abbia, qualunque sia s , 



