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Sarà quindi per x >• x x : 



\Y(s) — r-*S(», »)|'<« ; 



-cioè la nuova somma coincide coll'antica. 



9. Kitornando alla questione propostaci, supposto che [4] sia somma- 

 bile in (ab), che la [2] ammetta soluzione e che esista un numero finito 

 e positivo q tale da aversi, per ogni valore di v , 



la serie &(s,x), relativa alla [4] sarà, per quanto vedemmo al n. 3, uni- 

 formemente convergente rispetto ad s; sarà inoltre 



lim e~ x S(s , x) = S(s) . 



V=OD 



Supposto ancora che la convergenza al limite per x = oo sia uniforme, 

 avremo : 



f Ò K(s,t)\ lim e- x S(l,x)\ dt = lim f l> K{s,t) r*S(<,«) dx = 



= lim [~G<»(s) + j G (1> (s) + G <2, (s) { x + 



.-£ = 00 | 



+ |G (1 >( S )-f-G < ^) + G <3, (s)|^ ! + ---- \e- 



] 



Ma ammettendo la [2] soluzione, dev'essere (') 



co 



dove la serie del secondo membro è sommabile in (ab), in grazia della sua 

 convergenza assoluta ed uniforme; dovrà perciò aversi: 



g(s) = lim e~ x fG a) (s) + J G (1, (s) + G (2ì (s)\x + 



+ | G">(«) -f- G<»(s) + <*<•>(*) | +■■••] ; 

 il che prova che la [4] è una soluzione della [2] . 



i 1 ) Vergerio, loc. cit., pag. 19. 



