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questo sistema differenziale fra le H t - e le fa si scrive: 



— A*i H fc 



= Pil fa 



(1) 



Ck — c% 



— Ck 



fai fak + 



Kc fc — K' 



Le (I) formano un sistema di Bourlet-Darboux completamente integra- 

 bile, e la sua soluzione generale comprende quindi n(n — 1) funzioni ar- 

 bitrarie. 



L'integrazione effettiva del sistema (I) è un problema manifestamente 

 molto complicato in generale; però dimostreremo che anche qui, come in 

 tante altre questioni di analisi applicata alla geometria, si possono stabilire 

 dei metodi ricorrenti che, partendo da una soluzione nota, permettono di 

 trovarne infinite nuove coli' integrazione di equazioni differenziali ordinarie. 

 E spingendo più in là la ricerca si potrebbe dimostrare un teorema di per- 

 mutabilità che permette di risparmiare ogni integrazione. 



2. L'accennato metodo d'integrazione successiva del sistema (I) dipende 

 geometricamente dalle trasformazioni di Ribaucour per inviluppi di iper- 

 sfere dei sistemi n pli ortogonali. Per le formolo relative a queste trasforma- 

 zioni mi riporto all'altra Nota nello stesso volume dei Rendiconti (19 marzo 

 1916), le formolo ivi stabilite per lo spazio S n euclideo valendo ancora nel 

 caso generale con leggiere modificazioni, dovute alla curvatura dello spazio. 



Abbiasi nello spazio S„ , di curvatura costante K , un sistema n pl ° or- 

 togonale (2), definito dalla corrispondente forma del ds ì 



I coefficienti H, e le relative rotazioni fa sono legati dalle equazioni 

 caratteristiche : 



Ora le trasformazioni di Ribaucour per inviluppi di ipersfere dei sistemi 

 n ph ortogonali (2) in altri sistemi (X) derivati corrispondono biunivoca- 

 mente ai sistemi di n -\- 1 funzioni 



(2) 



ds 2 = H? dui + HI dui H h H* du% . 



(3) 



( l ) Per il significato delle segnature veggasi la Nota citata. 



