che diremo le funzioni trasformatici, assoggettate a soddisfare al sistema 

 differenziale 



(4) — = ptk Yh , — = H ( Yi • 



Da* IìUì 



sistema che ammette soluzioni dipendenti da n funzioni arbitrarie. Scelta 



una soluzione (y x , y 2 y„ ; <f) delle (4), dal sistema (2) supposto noto si 



avrà in termini finiti il sistema (2') derivato con formole che non occorre 

 qui trascrivere. Solo importa osservare che la relazione fra (2) , (2') è in- 

 volutoria, onde avremo n funzioni trasformatrici y x , y 2 , ... , y„ , y pel pas- 

 saggio inverso da (2') a (2) , e queste sono date dalle semplici forinole 

 (ibi, n. 4): 



(5) Yì = QYì , Ys =■ QY* » ••• > Yn = QYn , <f = ~ Q<P ■ 



con q fattore di proporzionalità (funzione delle uì). 



3. Ciò premesso, dimostriamo che si arriva allo stesso sistema fonda- 

 mentale (I) proponendosi la questione seguente: 



Quali sono i sistemi n plt ortogonali (5) dello spazio S„ . a curva- 

 tura costante K , che ammettono trasformazioni di Ribaucour colle fun- 

 zioni tras formatrici y x , /? , ... , y„ ; y legate da un identità quadratica 



dove Ci , Ci c n , K' sono costanti, le prime n inoltre differenti da zero 



e fra loro ? 



Avvertiamo che qui ed in seguito escluderemo sempre i casi, di più 

 ovvia trattazione, noi quali si annulli qualche rotazione Ora dalla (6), 

 •derivata rapporto ad una qualunque u% , abbiamo 



(6) 



Ci yì + Ci y\-\ (- <?, 



n 



cost. 



+ fc x hi yx + K' Hi g> \ = , 



ed essendo y ( 4=0, ne dedurremo le 



(4') 



Ci 



l>Yi 

 l>Ui 



x 



(i _ 1 , 2 ,...,«) . 



Aggregando queste n equazioni alle (4), dobbiamo esaminare le rela- 

 tive condizioni d' integrabilità 



