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che possiamo scrivere 



d 3- (fa Yk) + c h -~ {fa Y x) + T~ ex fa Yx + K' (H, 9) = , 



Eseguendo le derivazioni colle (4) , (3) e raccogliendo i termini che 

 contengono y* , otteniamo : 



(7) yh j cì 2& + c H ^ + 'y ' c x /?x* + r n f h J + a = , 



avendo posto 



£ = Ci fa fa yì + fa <?* — - + fa y c x /?x* yx + K' fa H ft (p , 



o^ft *x~ 



ed anche 



fi 



( dMs x ' 



Ora per la (4 f ) è Sì — O, indi la (7) resta 



a + <?* + 2% fti fon + K' H, H* = , 



e questa, combinata colla (3) della seconda linea, ci dà 



Vft ^ c*-* Ke h -K' 



— — = / pxì pxft H m Hit , 



ÌUi — d — C h Ci — c h 



che è precisamente l'equazione della seconda linea nel sistema (I). Adunque 

 se le funzioni trasformatrici y x , y 2 , ... , y n , <p sono legate dall'identità qua- 

 dratica (6), il sistema n pl ° ortogonale (2) appartiene necessariamente alla 

 classe caratterizzata dal sistema differenziale (I). 



4. Viceversa, se il sistema (2) appartiene a questa classe, aggregando 

 le (4') alle (4), si ha il sistema di equazioni lineari ai differenziali totali 

 per le funzioni incognite Y\ > Yz > — > Yn > 'ty '• 



— — = Pih Yn 1 t — ■ — / ~~ pyj yx 



lUi 



Ora il calcolo stesso sopra eseguito dimostra che, a causa delle (I),. 

 questo è un sistema completamente integrabile, ed ammette l' integrale qua- 

 dratico (6). La sua soluzione generale contiene quindi « -)- 1 costanti arbi- 

 trarie per le quali possiamo assumere i valori iniziali y< 0) , <p (0) delle fun- 



