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zioni trasformatrici per un sistema iniziale uf } di valori delle variabili 

 indipendenti. 



Ora di più scegliamo i valori iniziali > 9> (0> P er modo che si annulli 

 nella (6) la costante del secondo membro, indi si abbia (') 



(II*) e, YÌ + c* YÌ H h o„ ri + K V = . 



Applicando allora al sistema (2) la corrispondente trasformazione 

 (Yì ì Yz » ••• » 5 SP) di Ribaucour, è facile vedere che il sistema derivato (2') 

 apparterrà alla medesima classe. Ed infatti le finizioni trasformatrici 

 Yì , 7« i ■•• < Yn ; y> nel passaggio inverso da (2') a (2) soddisferanno ancora, 

 per le (5), alla relazione quadratica (II*) che caratterizza, come si è visto, 

 i sistemi n pli ortogonali (2) corrispondenti alle formolo (I). Concludiamo 

 quindi : 



Nola una rappresentazione normale uniforme di uno spazio S„ a 

 curvatura costante K sopra un altro spazio di curvatura costante {ne- 

 gativa) K r , se ne ottengono infinite nuove integrando il sistema lineare 

 ai differenziali totali (II), colla condizione (II*) ai limiti. 



5. Nei risultati ottenuti è essenziale l' ipotesi che i moduli di dilata- 

 zione siano tutti diversi e resta a vedersi quali modificazioni vi si introdu- 

 cono per l'eguaglianza di due o più dei moduli. 



Limitiamo qui la ricerca al caso n = 3 degli spazii a tre dimensioni, 

 sempre escludendo i casi di più facile trattazione in cui si annulli qualche 

 , chè allora nel sistema triplo una famiglia è composta di superficie pa- 

 rallele e le altre due di sviluppabili. Siano 



( ds 2 = Hf dui + HI dui -f E 2 dui 



ì ds- = a 2 E\ dui + a 2 H* dui + c* El du\ 



i due elementi lineari di S 3 , S' , le costanti a 2 . c 2 essendo supposte natu- 

 ralmente diseguali. 



Indicando con accenti le quantità relative al secondo spazio, si ha 



H; = r/H, , h; = ah 2 . h; = ch 3 , 



e conseguentemente 



P'n = Pi* i P'ìx—Pu ; #3 



(*) Si avvertirà che se il sistema (2) corrisponde ad una rappresentazione normale 

 uniforme di S n sopra SV le costanti a sono ver le (1) tutte positive, e per ciò deve 

 essere K'<0, ossia lo spazio S'» deve essere pseudosferico. 



/?13 < &>3 " @23 ; @31 = — @3\ > #<2 = 



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