Se scriviamo l'equazione della terza linea in (3) per lo spazio S s 



insieme all'analoga per S3 



li + 4 L + -S^33 + K'a*H 1 H 2 = 0, 



~òu x :u 2 c 

 sottraendo abbiamo 



jf£ — l) fa fa = (K — K' a 2 ) H, H 2 , 



indi 



fa fa g 2 (K — K' a 2 ) 



H, H 2 a 2 — e* 



Ora il primo membro rappresenta appunto la curvatura totale rela- 

 tiva k delle superficie u 3 — cost., cioè il prodotto delle due curvature 

 principali 



_1 fa_ _1 fa 



r%\ H) 7*32 H3 



e la foimola ottenuta si scrive 



, g »(K-K'a») 

 (8) fl ,_ ff , • 



La famiglia u z = cost. nel sistema triplo ortogonale è formata dunque 

 di superficie colla medesima curvatura costante, cioè: 



In qualunque rappresentazione normale uniforme di due spaiti a 

 tre dimensioni ed a curvatura costante, l'uno sull'altro, quando due dei 

 moduli di dilatazione sono eguali, il sistema triplo ortogonale principale 

 é un sistema di Weingarten. 



Si vede così come si presentano spontaneamente i sistemi di Weingarten 

 in questi problemi geometrici di rappresentazione. Dalle mie antiche ricerhe 

 su questi sistemi (') è facile d'altronde dedurre inversamente che : Ogni si- 

 stema di Weingarten in uno spazio a curvatura costante è il sistema 

 principale in una rappresentazione normale uniforme di questo spazio 

 sopra un altro spazio di curvatura costante. 



6. Siamo ricondotti ancora ai sistemi di Weingarten trattando la que- 

 stione seguente, corrispondente a quella del n. 3, ove si suppongono eguali 

 due delle costanti 



(') Annali di matematica, tomo XIII della serie 2 a (1885) e Memorie dei Lincei, 

 ▼ol. IV, serie 4 a (1887). 



