Quali sono i sistemi tripli ortogonali dello spazio S 3 , di curva- 

 tura costante K , che ammettono trasformazioni di Ribaucour, colle fun- 

 zioni Ir as formatrici yi > Yt » Ya i f legate da un'identità quadratica della 

 forma 



(9) y? + yi + «yi + ^ 2 = 0, 



con a , b costanti ? 



Questa, derivata rapporto ad osservando le (4), dà 



èr + /*« + a fisi y 3 -f è H, (f = 



(10) j ^- 2 + /i 12) ' 1 +a^3,)'3 + èH 29 . = 



Paragonando la prima di queste coll'altra — — = /?it) , 2, ne deduciamo 



~ÒUì 



± <ft, r.) + £ (Ai + « £ (fa ri + » ^ ( H, ,) = o , 



che sviluppata colla precedente diventa 



D'altra parte abbiamo anche 



^ + ^ + AlA , + KHl H.=. , 



indi sottraendo 



(a— l)/*3ift* = (K — *)H, Hi . 



Ora, escludendo che si abbia a = 1 , 6 = K , caso che per le trasfor- 

 mazioni di Ribaucour è privo di significato, ne deduciamo 



e quindi : / sistemi tripli ortogonali cercati debbono essere sistemi di 

 Weingarten. 



E inversamente si può dimostrare che per ogni sistema di Weingarten 

 esistono trasformazioni di Ribaucour le cui funzioni trasformatrici sono le- 

 gate da un' identità quadratica (9), una delle due costanti a , b restando 

 arbitraria , e l'altra desumendosi dalla (11). 



