M 3 = cost. (a curvatura k -— sen 2 <r) ; 2° una delle curve coordinate (u 3 ) . 

 Notiamo poi che il sistema (A) ammette l'integrale primo quadratico: 



(B) — rr^ I H 777 ) — cos 2 a ( } = cost. 



coslrtf \ ~òu 3 ' senlr0 \ 7>w 2 "àw 3 / \ 7m 3 / 



Nel caso attuale la relazione (11) da porsi fra le costanti a,b al n. 7 

 diventa 



b -j- cos 2 <r -f- a sen 2 a = 



e viceversa dando qui ad a un qualunque valore (diverso però da 0,1) il 

 sistema ai differenziali totali per , y 2 . y 3 ; <p formato dalle generali (4) e 

 dalle (10) è completamente integrabile. Scelti i valori iniziali per modo 

 che sia 



il sistema (2') derivato per trasformazione di Ribaucour sarà un nuovo si- 

 stema di Weingarten colla stessa curvatura costante (n. 6). 



8. Se si suppone nulla la costante del secondo membro nella rela- 

 zione (B), si ha una classe particolare molto notevole di questi sistemi di 

 Weingarten, pei quali 



— — — = cos 2 a , 



ossia — = cos<r. essendo — la flessione delle curve coordinate (w 3 l; si 



(>3 Qs 



tratta qui adunque dei sistemi di Weingarten a flessione eostante. 



In tal caso il sistema differenziale (A) si semplifica coli' iutroduzione 

 di una funzione ausiliaria « e si scrive (cfr. Meni, cit.): 



(C) 



7)0 



, 7><w 





r l)U t 



DO 





~òu 2 



iti! 



coso- senh cos co , = cos a cosh 6 cos <w 



= cos e cosh sen w , = coso - senhfl sen&> 



Le trasformazioni di Ribaucour che abbiamo sopra considerato cangiano 

 questi sistemi a flessione costante in altri della stessa specie. 



Ora, mediante la rappresentazione conforme di Poincaré dello spazio 

 pseudosferico (K = — 1) sul semispazio z > euclideo, definita dalla forma 



da* -f dy< + ds* 



ds 2 = 1 — - 2 — 



z 2 



pel ds 2 , trasportiamo i sistemi (^) a flessione costante — = cos <r nello 



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Rendiconti 1917, Voi. XXVI. 1» Sem. 59 



