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spazio euclideo. Le curve immagini coordinate (u 3 ) avranno la proprietà che 

 i loro circoli osculatori tagleranno il piano limite z = sotto l'angolo 

 risso a, e le superficie immagini u :i = cost. saranno altrettanti integrali 

 dell'equazione del 2° ordine (cfr. Lezioni di geometria differenziale, voi. I, 

 § 222, forraola (54): 



f m rt ~ s2 i ■ il +q 2 )r-2pqs+(l+p*)t 



{ } " + f (1 +p* + q>)* ~ 1 " 



+ liti» = sen a ■ 



9. Suppongasi inversamente di avere, nell'ordinario spazio euclideo, un 

 sistema triplo ortogonale (ui , u z , u 3 ) tale che i circoli osculatori delle curve 



coordinate (u 3 ) taglino sotto l'angolo costante <r |o < e < -^H un piano 



fìsso, sia £ = 0. In metrica iperbolica, questi sono circoli non euclidei a 

 centro ideale o di curvatura geodetica cose, onde le curve (u 3 ) hanno in 

 questa metrica la flessione costante 



1 



- = cos or . 



Ora sussiste in generale il teorema: 



Se in un sistema triplo ortogonale {u x , u 2 , u s ) dello spazio S 3 , a 



curvatura costante K, le curve (u 3 ) hanno la flessione costante — =<?, 



9* 



il sistema è di Weingarten, e la curvatura relativa k della superficie 

 u 3 — cost. è data dalla forinola 



(12) . = — (K + c«). 



Per ipotesi si ha 



e derivando rapporto ad u t , u 2 , osservando le formole 

 otteniamo le altre 



^52 — tf»H,.H, — 



