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Paragonando colle precedenti, costruiamo la condizione d'integrabilità 

 -~~ (A* A») + (A> A3) - «» ~ (H, H,) = , 



Jtfc2 J«2 



che sviluppata dà 



a S jjAj i Mii ,2 11 o ) _j_ 



+ Ai Ai As + A. (<?* H 2 H 3 — A* A,) — Ai H 2 H, = . 

 I termini che non contengono A3 si elidono, e poiché As ={= resta 



d'altronde 



e paragonando 



Ai /?3 2 + (K+tf 2 ) H, H 2 =0, 



che è precisamente la (12). 



Se iu questo risultato generale facciamo 



K = — 1 , c — cos <r , 



abbiamo k = senior, e perciò il sistema (ui , w 2 • dello spazio iperbolico 

 è un sistema di Weingarten della classe considerata al n. 7, colla flessione 



costante — =• cos a . 

 Q 3 



Concludiamo quindi : Esistono infinite famiglie di Lamé le cui tra- 

 iettorie ortogonali hanno circoli osculatori che tagliano sotto un angolo 

 costante a un piano fisso. La loro ricerca difende dal sistema (C) di 

 equazioni a derivate parziali, la cui soluzione generale contiene tre fun- 

 zioni arbitrarie. 



Si osservi che le superficie « 3 =cost. di queste famiglie di Lamé sono 

 tutte integrali dell'equazione del 2° ordine (D), del tipo di Monge-Ampère. 

 É le superficie delle altre due famiglie u x = cost. , u 2 = cost. , che con la 

 prima completano il sistema triplo ortogonale, hanno la proprietà che i cir- 

 coli osculatori delle linee di curvatura di un sistema tagliano sotto l'angolo 

 costante o il piano s = . Come superficie isolate queste ultime furono stu- 

 diate direttamente dal Razzaboni (*), con riferimento alle mie antiche ricerche 

 sopra citate, ma nel caso opposto a quello sopra considerato, e cioè quando 

 i circoli osculatori non tagliano realmente il piano fìsso (ff puramente im- 

 maginario). 



(') Memorie della R. Accademia di Bologna, serie VII, tomo I (1913). 



