Meccanica. — Statica einsteiniana. Nota del Socio T. Levi- 



OlVITA. 



Mi propongo di studiare sia quel caso particolare delle equazioni gra- 

 vitazionali di Einstein, che corrisponde a fenomeni statici, sia (sempre dal 

 punto di vista della relatività generale) il movimento di un punto materiale 

 entro un campo statico, nell' ipotesi che sia trascurabile la modificazione del 

 campo provocata dal moto del punto. 



Nei §§ 1-2 attribuisco alle equazioni ricordate una forma invariantiva 

 rispetto al ds 2 dello spazio ambiente. Con ciò rimane direttamente collegata 

 la natura metrica di questo spazio ai fenomeni di equilibrio che vi hanno 

 sede, mentre nella forma generale di Einstein (valida per fenomeni comunque 

 variabili col posto e coli' istante) si presentano fuse insieme le misure dello 

 spazio e del tempo in una metrica quadridimensionale. 



Un' immediata conseguenza delle equazioni così trasformate si è che, 

 in regime statico, la curvatura media dello spazio fisico è necessariamente 

 positiva o nulla. 



Passo quindi (§§ 3-4) alle equazioni del moto di un punto materiale. 

 Anche qui si tratta semplicemente di lumeggiare le particolari proprietà 

 dovute al regime statico del campo. Tra queste figura la equazione varia- 

 zionale delle traiettorie, che è in sostanza l'espressione appropriata al caso 

 del principio della minima azione. La trasformazione, con cui vi si giunge 

 eliminando il tempo, è perfettamente applicabile anche nell'ordinaria mec- 

 canica dei sistemi olonomi, e serve a passare (supposte le forze conservative) 

 dal principio di Hamilton a quello della minima azione con qualche mag- 

 giore spontaneità e semplicità che non si riscontri nei procedimenti clas- 

 sici ('). 



1. — Le equazioni di Einstein nel caso statico. 



Quando si tratta di fenomeni statici, la forma differenziale quaternaria 

 ds" , che congloba le misure dello spazio e del tempo, si presenta sotto 

 la forma 



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(1 ) T ik g ih dxi dx k = V 2 dx\ — ds 2 , 







(') Veggansi ad es. i trattati seguenti: Appetì, Tratte de mécanique rationnelle, 

 tomo 2 (3 a ediz.) [Paris, GauUiier-Villars, 1911], nn. 483-487; Maggi, Principe di ste- 

 reodinamica [Milano, Hoepli, 1903], §§ 102-103; Wliittaker, Analytical Dynamics 

 [Cambridge, University Press, 1904], sez. 99-100. 



