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<ii-t-ii+2,x+ìit+t (colla convenzione di risguardare equivalenti due indici che 

 differiscono per multipli di 3), e vengono opportunamente sostituiti dai 

 rapporti 



(11) a"» — 0»m £=1,2, 3) 



a 



introdotti dal Ricci, che costituiscono, come egli ha mostrato (e come si 

 verifica materialmente in modo ovvio), un sistema doppio simmetrico contra- 

 variante. 



Con a ih si intende naturalmente il sistema covariante reciproco, mercè 

 cui le a*'*' si esprimono sotto la forma 



(12) «'«>== V. *«i> a <») 



jk - - «jh 



Vogliamo stabilire le relazioni che legano le a ih alle G<* ('). 



Procedendo per via diretta, si può partire dalle (6) e sostituire nei 

 secondi membri i simboli \ih,hk\ mediante quelli di prima specie, scri- 

 vendo 



(6') G«= % h aW<iij M , 



Il secondo membro si sviluppa, attribuendo a j i valori i , i -f- 1 , i -j- 2 

 e ad h i valori £ , k -f 1 , £ -f- 2 . Tenendo conto delle identità 



&ij,hk == M-ji,hh =1 <Zij,hh i 



e delle (11), si ha 



j h+l) a (t-i-l fc+2) ^«-(-2 ft+2) a <»+l UH-!) j ^ 



ossia, in base alle (12), 



| a (i-t-2ft-i-l) ^(t'-t-lj) a (.k+2h) ft Ci-(-2 ft-t-i) ^(w-lj) ^(ft+lft) j _ 



1 



Nel sommatorio giova raggruppare il primo col secondo termine e il 

 terzo col quarto, attribuendo ad h i valori i , i'-j-l , i-\-2. 



Dacché il complemento algebrico di a im nel determinante di queste 



quantità vale — , risulta 



a 



(') Relazioni già indicate dal Ricci nella Nota Direzioni e invarianti principali 

 in una varietà qualunque, Atti del R. Istituto Veneto, tomo LXIII, 1904, pag. 1235. 



