la quale, aggiungendo e togliendo (sotto il sommatorio) aj ( a ik a iij \ si scrive 

 più semplicemente 



G,* = a ik — a ìH aij a uj) . 

 Moltiplichiamo per a u1 ° e sommiamo rispetto ai due indici i e k. Tenuto 



3 



conto che y_ ih a {ik) a,n = 3, il confronto colla (8) porge 

 i 



(13) m> = ^_ iK a^a iH , 



i 



sicché le ottenute relazioni fra le G,s e le a ih assumono l'aspetto: 



(14) = + («, k = 1,2, 3), 

 che più conviene al nostro scopo (')• 



( x ) Si può arrivarvi in modo più elegante, ricorrendo ai sistemi E spettanti al nostro 

 ds i ternario rjcfr. Ricci et Levi-Civita. Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs 



application^, Math. Ann., B. 54, 1900. pag. 135; Ricci, Sulle superficie geodetiche , 



in questi Rendiconti voi. XII, 1° semestre 1903, pag. 410]. In primo luo^o. mediante 

 TE covariante si scrivono le (12) sotto la forma 



con che le (6') assumono l'aspetto 



3 3 



Gin = Zia», a w *' e P a f,/,* = — Z,„ M aW B pii e,*,. . 

 ì ì 



D'altra parte la definizione delle a' ,h) si traduce, mediante 1' E contravariante, nelle 

 formule 



3 



«° 7,) = k Zvperr • <v f > « (7T '° «v» «or • 

 1 1 



Sostituiamo in G<* , badando alle identità (di verificazione immediata) 



3 



Z; spi) » <V P" = fpv *>p — c P? e,-v (p , t , v , q = 1 , 2 , 3), 



e a quest'altre (che ne differiscono solo per la designazione degli indici) 



3 



Za *ìhh £ {crT ' !) = e q0 - e&r — e,jt e** (? , k , a , t = 1 , 2 ,3), 

 ì 



nelle quali le £ a due indici stanno, secondo il solito, a rappresentare lo zero quando 

 gli indici sono distinti, e l'unità quando coincidono. 



Ove si noti che l'espressione (13) di equivale a 



3 



i 



risultano appunto le (14). 



Rendiconti. 1917. Voi. XXVI, 1° Sem. 60 



