In condizioni statiche, vale pel ds' la forma (1), talché, pósto, per co- 

 modità di confronto colle notazioni abituali, 



(17) x„ = t , 23 -i, (f-1,2,8) , ^ = 



la precedente può essere scritta 



<r h/v 8 — v 2 dt = o o . 



Per restare nel campo reale e regolare, giova escludere i movimenti in 

 cui la velocità attraversa il valore critico V, e porre (col valore aritmetico 

 del radicale) 



(18) 



i \ V' — v* per v < V ( 2 ), 



( j/V v 2 per v > V , 

 valendo in entrambi i casi l'equazione variazionale del moto 

 (16') 6 fhdt = 0. 



Ne conseguono notoriamente le equazioni differenziali di Lagrange 



£-^_à_ (,.1,2,8). 

 di ~òXi ~ì)Xi 



Si noterà che, nella (16), e quindi nella equivalente (16'), anche t deve 

 essere sottoposto a variazione, trattandolo alla stessa stregua delle coordi- 

 nate di spazio, e supponendo in conformità St nullo agli estremi (dell'in- 

 tervallo di integrazione). Ciò dà luogo (mercè la solita integrazione per parti) 

 ad una quarta equazione 



di \ — { -òxì ! 1 ~òt 



che è però una conseguenza delle prime tre. 



f 1 ) Sotto questa forma essa venne già proposta e discussa da Abraham, però limi- 

 tatamente all'ipotesi che il ds 2 sia euclideo. Cfr. in particolare Le equazioni di La- 

 grange mila nuova meccanica, Ann. di Mal, tomo XX (dedicato alla memoria di La- 

 grange), 1913, pp. 29-36. 



( a ) Si potrebbe anche limitarsi a questo primo caso, che è il solo fisicamente inte- 

 ressante per un effettivo punto materiale. Stimo tuttavia preferibile — giacché l'occa- 

 sione si presenta — di trattare la questione in modo completo. 



Nella recente Memoria di Hilbert, Die Grundlagen der Physik (seconda parte) 

 [Nadir, der K. Ges. der Wiss. zu GSttingen, 191 7] , dove sono precisati i postulati della 

 relatività generale, si trova, a proposito dei movimenti dei punti materiali, una specifica- 

 zione qualitativa, che, in condizioni statiche, equivale appunto a v < V . 



