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Quando in particolare, come nel caso attuale, — = , essa si iden- 



tifica coli' integrale tipico dei sistemi lagrangiani (delle forze vive, allorché L 

 ha la forma quadratica rispetto alle velocità, che le compete nella mecca- 

 nica ordinaria) 



(19) f" — li — L = V (V costante) . 



Sfruttando questa equazione, si può, colle dovute modalità; eliminare 

 di dalla (16'), e ottenerne una formula, anch'essa variazionale, che corri- 

 sponde al principio della minima azione, compendiando le equazioni delle 

 traiettorie. Ecco come conviene procedere. 



Si premette che, nella (16'), le variazioni óxi , ót vanno ritenute arbi- 

 trarie, ma nulle ai limiti. Si nota poi che, risguardando V come una co- 

 stante prefissata (cfV = 0), si può sostituire alla (16') la formula 



(16") ó J~(L -f Vo) dt = , 



sostanzialmente equivalente, perchè dà luogo alle stesse equazioni di La- 

 grange. Essa però presenta sulla (16') il vantaggio che non occorre più im- 

 porre a dt la condizione di annullarsi agli estremi (semprechè si intenda 

 che, nell'integrale (19), la costante del secondo membro abbia il valore 

 prefissato V ). Questo risulta subito dall'osservare che, portando il ó sotto 

 il segno, si ha, materialmente, come contributo proveniente dalla varia- 

 zione di t , 



che si annulla, in virtù della (19). 



Così stando le cose, diviene lecito di considerare, nella (16"), le x\ , t , 

 e subordinatamente le loro variazioni, legate dalla (19), anziché indipen- 

 denti. In verità, nulla vieta a priori di introdurre vincoli a piacimento, 

 sia nella (16') che nella (16"), purché soltanto rimangano rispettate le 

 condizioni ai limili per le óxi,ót. Come si comporta la (19) a tale ri- 

 guardo? La sua variazione fornisce, possiamo dire, il ódt , o. ciò che è lo 

 stesso, il dót in termini delle óxi che rimangono (funzioni di t) arbitrarie, 

 salvo l'annullamento ai limiti. 11 ót risulta in conformità da una quadratura, 

 e quindi si può renderlo zero ad uno degli estremi dell' intervallo di integra- 

 zione, ma non in generale anche all'altro. Perciò l' introduzione del vin- 

 colo (19) è perfettamente legittima nella (16"), la quale non richiede l'an- 

 nullarsi ai limiti di ót ; ma non lo sarebbe invece nella (16'). 



Chiarito il concetto, esplicitiamo il calcolo. 



