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risulta l'equazione comprensiva delle traiettorie 



(21) *JVatJ «fo'= o . 



Queste appariscono in conformità coincidenti (ben si intende per ciascun 

 valore della costante V che compare implicitamente in U) colle geodetiche 

 di uno spazio di elemento lineare f 2U ds , od anche (') con un fascio di 

 traiettorie di un problema conservativo di meccanica ordinaria nello 

 spazio fisico di elemento lineare' ds . Il fascio è caratterizzato come segue: 

 ds 2 



forza viva j ' ^* designando una variabile ausiliaria che funge da 



tempo; funzione delle forze c 4 U, con c costante arbitraria; energia totale 



ds 2 



^ dt* 2 — = . Si può anche dire, badando alla espressione (20) di U: 



c* c 4 

 funzione delle forze -zrr ; energia totale rt -=z . 



2Y 2 2Vo 



4. — Casi limiti. - Interpretazione ottica. 



1°. Attrazione neiotoniana. — Nell'ipotesi che la forma quadridimen- 

 sionale ds'* — V 2 di 2 — ds 2 sia molto prossima al tipo euclideo, si può porre 



3 



(22) V = e (1 -4- y) , ds 2 = \ ik (*,-» -f dx t dx h , 



dove c è costante (velocità della luce in assenza d'ogni circostanza pertur- 

 batrice), e le y i che sono tutte puri numeri, vanno trattate come quan- 

 tità Ai primo ordine. 



La funzione lagraugiana, per moti dotati di velocità v <C V, è, a norma 



della (18), 



j/V 2 — y 2 . 



ossia, moltiplicando per — c (ciò che è lecito senza alterare le equazioni 

 del moto) badando alla prima delle (22), e trascurando y 2 , 



l+2y 



c 2 



Supposto che (come avviene di regola pel moto dei corpi ponderabili) 



v 2 



si possa trascurare anche il quadrato del rapporto — , sviluppando il radi- 

 cale e prescindendo dalla inessenziale costante additiva — c 2 , la detta fun- 

 zione lagrangiana assume la forma 



L = 7Ì) ! — c 2 y . 



(') Vedasi ad es. il già citato Traité de mScanique rationnelle di Appell, n. 487. 



