Ciò richiede 



(14) 3K + */> = 0, 



che, associata alla (9), porge p—- — u, e dà luogo alle stesse considera- 

 zioni qualitative di poc'anzi. 



Per l'integrazione delle (13), giova prendere il ds 2 (che ha per ipotesi 

 la curvatura costante K) sotto la forma tipica ( l ) 



(15) ^(dxl + dxl + dxl) 

 con 



(16) xfJ = l + lK.(xì + xl + xl). 



Per le derivate covarianti V !ft si ricavano subito (dalla formula di de- 

 finizione) le espressioni esplicite 



V- _ "** V J- 1 l^V ^ V _L jZ.\__gg y 



lk ~ÒXi 1)Xìì Xp \ ~ÒXh ~òXi ~òXi ~ÒX k I Xp — l l)Xi ~ÒXi 



col solito significato delle t !fc (0 per i 4= k , 1 per i = k). 



che giova aver presenti anche sotto la forma 



3 



2 3 e ( « CTT> s qji — s j en — e ai «t/ (ff , r , / , t = 1 , 2 , 3) , 



ì 



e in cui, ben si intende, le e a due indici valgono zero o uno secondochè questi indici 

 sono distinti o coincidono, risulta 



K 3 



Vìw — \ T m — — Zjhvpar ava «pr a,u h > V h (e V h e^i — e v i Sp h ) {e a} e Ti — e ai e TJ -) = K (a« V k — a«t Vi) ' 

 & ì 



Nell'ipotesi che le Vi sieno le derivate d'una funzione V che verifica le (13), si 

 ha, dalle (13) stesse, moltiplicando per V e derivando covariantemente , 



V m = _ K* a ik Vi , 



che, introdotte nelle precedenti, danno luogo alle condizioni di integrabilità': 



(K - K*) (a it V h - a ih Ni) = , 



per ogni terna di indici i,k,l. 



Dacché, per ipotesi, V è un'effettiva funzione, una almeno delle sue derivate, di- 

 ciamo per es. Vjt, sarà diversa da zero. Fissiamo, nelle equazioni teste stabilite, questo 

 valore di k e un valore di l diverso da k; e moltiplichiamo per a iikì , sommando rispetto 

 all'indice t. Ricaveremo 



(K-K*) V* = 0, 



donde appunto K — K* = , c. d d. 



(') Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, voi. I, pag. 345 [Pisa, Spoerri, 1902l_i 



