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ove le s' r sìeno della radice v r -esime dell'unità, a r ,b r , costanti e la *' r 

 varii da — oo a -|- oo in modo che e r s' r resti sempre reale. 



2. Cominciamo dal trattare il caso più semplice: che cioè le e' r sieno 

 tutte eguali all'unità e che f(x) = 0. 



Premettiamo perciò il 

 Teorema I. — Se esiste la funtione (p (che sarà derivabile almeno 

 due volte, allora) (ale che: 



r-t-oo 



SP(#)-M e h{x -' ì y>{s)ds = 0, 



J—oo 



essa è eguale ad una certa combinazione di esponenziali 



(p(x) = 2 k r e** x . 



Infatti, noi abbiamo 



r+oo 



(p(x)-\~X e b 1 x ~ s 1 g>(s) ds = 



r-*-<x> rx 

 = 9 { x )-1 r X\ c b ^'-^(f{s)ds-\-X \ e b] «-><<p{s)ds = 



. 'a, • -oo 



r-t-oo r« 

 = <f{x) + Xe~* e bs (f(s) ds -f- Xe bx e~ bs y>(s) ds = Q. 



J X J-OO 



Derivando una volta, si ottiene: 

 y(a;)_|_A \ — be- bx e bs g>{s) ds + 



-f- be bx ( * e~ bs <f{s) ds — e~ bx . e bK tp(x) + e** e~ bx tp(x) j — , 



J—oo ) 



da cui. ri ducendo: 



fgA _|_ X ■ j be~ bx f + °° e bs <i5 + \ * e~ bs g>{s) ds j = . 



f i^as r— oo 7 



Derivando una seconda volta, avremo : 



i r+co 

 <p'' (x) + l) b* e~ bx e bs q(s) ds + 



' J a 



+ è 2 e b£r f * e~ b$ <p(s) dt + b e~ hx e bx . + be bK e~ bcc tp{x) = 0, 



J-00 > 



cioè: 



_j_ a | b* e 6 1 *- s 1 g>{s) ds + 2è <p(x) J == 



