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ed infine, per l'equazione da cui siamo partiti: 



<f"{x) — b l q{x) -f 2U (f{x) = 



che dimostra l'assunto. 

 Ne segue il 

 Teorema II. — L'equazione 



00 

 -00 



(p(x) + A 2a r e b > 1 x ~ s 1 y>{s) ds = 



ammette soltanto soluzioni della forma: 



(p(x) = I h r ei** 

 ove le y r soddisfano all'equazione : 



1-^7^=0 : -br>Y>br. 



Si potrebbe poi mostrare facilmente che, se una delle y fosse multipla 

 d'ordine v -f- 1 , al posto della costante h relativa, subentra un polinomio 

 arbitrario d'ordine v. 



La prima parte del teorema II è immediata. Per dimostrare la se- 

 conda, si osservi che: 



r-t-oo 

 00 



r+oo r« 

 e b i x-s i eV fa = e-** e u+V ds -f e bx e ( - b+ V' ds , 



Jrr. U 'cri 



Per la convergenza degli integrali (e perchè quindi l'integrale primitivo sia 

 proprio) occorre e basta che b-\-y sia negativo e — b -j- y positivo: ciò che 

 dà appunto 



-b> Y >b. 



Se qualcuna delle b fosse positiva, non vi sarebbero valori reali (e com- 

 plessi anche) di y soddisfacenti a tali condizioni: epperò le b devono neces- 

 sariamente essere negative. 



Se poi le a , b , y fossero complesse, nelle diseguaglianze precedenti 

 figurerebbero le loro parti reali. 



Intanto, gli integrali dianzi scritti sono rispettivamente eguali a: 



<?7 r e bx e < -- b+ V x e~i x 



b -{- y b -\- y ' y — b y — b ' 



Ne segue quindi: 



-00 



/ I i \ oh 



e b\x-,\ gV ds _ I e i* 



(b -\- y y — b) b* — y* 



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