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Quest' ultima forinola trae seco, come agevole conseguenza, la seconda parte 

 del, teorema. 



3. Se dunque abbiamo: 



tp{x) + X (p(s) ds = 0, 



•-'-00 



l'equazione algebrica caratteristica sarà 



2X 



1 + = ; y = V 1 + ^ > -l<y<l. 



Se X^> — V2, le due radici sono reali; ma per la diseguaglianza 

 scritta si vede che per X ^> non vi possono essere soluzioni. 

 Quindi, per 



la soluzione dell'equazione dianzi scritta è e~*A +,> ' a! . 



Se X <[ — l , y sarà immaginario; quindi la soluzione generale sarà] 

 c 1 sen (i yx -f- c t ) con Ci , c 2 costanti arbitrarie. 



Per X ^> gli integrali non convergono. 



Quindi, mentre per \X\^> l / t può esistere una soluzione limitata, per 

 1^1 <C 'A essa certamente non esiste. 



Ed in effetto, se applichiamo le considerazioni svolte nella già citata 

 Nota, si trova che la costante k, è data da: 



r+00 r+00 r+00 ro 



k= \ \e~ [ec - si \ds= I e - u - si ds=\ <r |J| ds = 2 e s ds = 2. 



J— 00 •J—CO J—QO J—CO 



Quindi la dà proprio \X\<^ 1 / 1t come condizione sufficiente, ma 



non necessaria, per la non esistenza di soluzioni limitate dell'equazione omo- 

 genea scritta. 



4. Passiamo ora a trattare le equazioni più generali (A). In esse si 

 deve implicitamente supporre che f(x) , <p(x) sieno definite oltre che sul- 

 l'asse reale, su tutte le rette t' r a {a reale). 



Con una semplice trasformazione di variabili, potremo poi ridurre la 



(A) al tipo: 



(B) (p(x) J r X\ 2a r e b '- ìa '- s] g>{€rS)ds — f(x) [« reale ; e}>- = 1] . 

 Vale allora il 



Teorema III. — Se esiste una soluzione dell'equazione omogenea'. 

 <p{x) + X\ e b ^- s[ <f>{*s) ds = (e v = l), 



^-00 



essa è una combinazione lineare di esponenziali. 



