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Infatti, abbiamo che: 



' + 00 



/ +00 



(/(ir) -f- l e b\«-s\ (p( £S ) ds _ 



= <p{x) -\-x\e~ bx ( °° e 68 rfs + e & * f <?- fcs jp(««) \ = , 



( ''a: «-/—co ) 



da cui. derivando : 



( r+oo 



+ f <r bs y(ss) cte — <?- to e bx (p{sx) -f- <? to <r 6a; g>(ex ) j = . 



•J — CO ) 



cioè 



y'(05) + A j — be~ bx \ * y(es) rfs + 6e b3C ( * e~ bs g>(cs) ds j = . 



' •-'a .-/—co ) 



Con una seconda derivazione otteniamo agevolmente: 



/"+00 



g>"{x) + M* | £ b 1 *- s 1 (p{ss) ds -f 2A£«y(f a;) = , 



J — co 



cioè 



— A« ty.(#) + 2Ug>{ex) = . 



Indicando con 



(p (x) , </,(;£ ) , g> t (x) , ... , (p r {x) = g>,(x) , (<p r+h = g> h ), 



rispettivamente le funzioni : 



g>(x) , (f{sx) , <p{s 2 x) , ... , <p(é r x) = tp(x) , 



tale equazione diventa: 



~T 5Pp(«) — *V P (#) + 2A*y p+1 (a5) =0 ((> = 1 , 2 , ... r). 



i Q 



Si vede quindi che (p(x) soddisfa ad un certo sistema di equazioni dif- 

 ferenziali: ed è, anzi, una particolare combinazione lineare di esponenziali, 

 a coefficienti legati da certe relazioni, a causa delle relazioni assegnate 

 fra le y> ? . 



In modo del tutto aualogo si dimostrerebbe il 



Teorema IV. — ■ Se esiste una funzione <p(x), soluzione della: 



(p{x)-\-X) 2a r e b ^ x -^(f{s r s)ds = 



essa è una certa combinazione lineare (i cui coefficienti sono legati da 



Rendiconti. 1917. Voi. XXVI. 1° Sem. 69 



