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date relazioni) di esponenziali el x . Le y soddisfano alla lor volta una 

 certa equazione algebrica, e certe diseguaglianze. 



La prima parte di questo teorema è immediata. Per la seconda sosti- 

 tuiamo a <p(x), e xx . 



Avremo che : 



e b ri*-*i(p(e fS ) ds= \ e'*** «*«■» e^ s ds + e b '- x e~ b ^ e^ s = 



J —<x> J x . J —oa 



*r + *ry — b r -{-€ r y 6 \ £ r y — b r s r y-{-brS' 



Ciò mostra che se la soluzione contiene un termine e^ x , dovrà conte- 

 nere anche tutti i termini e é > A ' x , e dà il modo, per formare il sistema di 

 equazioni — algebrico per le y, e lineare pei coefficienti — da soddisfare. 



Le limitazioni, poi, necessarie alla convergenza degli integrali, sono 

 date dalle 



parte reale di (b r -f- e r y) < ; parte reale di ( — b r -f- e r y)^> 



(r« 1,2 ,...), 



valevoli contemporaneamente per tutte le y che figurano nella soluzione. 



5. Infine, nel caso, che non sia f{x) = 0, le equazioni integrali sovra 

 scritte, si ridurrebbero ad equazioni differenziali-funzionali non omogenee, 

 usando sempre tale procedimenti. Tali equazioni poi, con. l'introduzione di 

 tp(x) , <p{sx) , tp{s t x) , ... si ridurrebbero a sistemi di equazioni differenziali 

 non omogenee, con delle condizioni accessorie. 



Quindi ,il tipo della soluzione generale, in tale caso, resta fissato in 

 modo non dubbio. 



Se però, in particolare, la f{x) si può rappresentare con: 



f{x) = J_p ? e h ?* , 



? 



si avrà subito (trascurando le quistioni di convergenza) che; 



9 {x) =Vq P e h P x + H(a;) , 



ove B.(a;) sia soluzione della corrispondente equazione singolare omogenea. 



Devono però essere soddisfatte le relazioni derivanti dall'equazione 

 data; si deve dunque avere: 

 i 



y q? e*?* -f- X I Y or e b <- " 1 q ? e H P ( '- s ds=J_p ? e hpx . 



