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Se una matrice di Riemann di genere p~^> l ammette due assi 

 delle dimensioni rispettive 2(p — q) — 1 e 2q — 1 esisteranno per essa 

 delle omografie riemaaniane singolari aventi per primo e secondo asse i 

 due assi dati ? 



La risposta è certo affermativa se i due assi sono indipendenti e cioè 

 complementari, come è stato già osservato dal Rosati e dallo Scorza ('); 

 ma non è tale senz'altro se i due assi sono dipendenti. 



Ebbene noi vogliamo appunto esaminare in questa Nota sotto quali 

 condizioni la risposta è affermativa anche per assi dipendenti, e quindi, in 

 sostanza, vogliamo caratterizzare le coppie di assi di una matrice di Rie- 

 mann che possono essere riguardate come coppie di assi di sue omografie 

 riemanniane singolari. 



I risultati a cui perveniamo sono raggiunti molto semplicemente: ma 

 non ci sembrano privi di interesse perchè ed essi e le considerazioni che li 

 forniscono si collegano intimamente con la teoria generale delle matrici di 

 Riemann ( 2 ). 



1. Cominciamo dal dimostrare che: 



Se due matrici riemanniane sono isomorfe e un asse della prima 

 è isomorfo ad uno della seconda, i complementari del primo asse sono 

 isomorfi ai complementari del secondo ( 3 ). 



Siano, infatti, co e co' le due matrici isomorfe, A, ed A 2 due assi com- 

 plementari di co, Ai ed A 2 due tali per co' e supponiamo A, isomorfo ad A[ . 



Siano 



(1) B M , B M , ... , B,,„ e B M ,B 2 , 2 B 2 , m 



due gruppi fondamentali di assi puri di A! e A 2 rispettivamente. Il gruppo 

 di tutti gli assi B 1>; - e B !)h sarà un gruppo fondamentale di assi puri di co. 

 Allo stesso modo, siano 



(2) B' hì , B 1)S , ... , B' Un r e B 2il , B 2>2 , ... , B'^ m < 



due gruppi fondamentali di assi puri di A[ e Aj . per modo che tutti gli 

 assi (2) costituiranno un gruppo fondamentale di assi puri di co'. 



Se due matrici sono isomorfe, gli assi di ciascun gruppo fondamentale 

 dell'una si riflettono in assi ad essi rispettivamente isomorfi, di un gruppo 

 fondamentale dell'altra; inoltre dati due gruppi fondamentali di assi puri 

 di una stessa matrice, essi possono esser sempre ordinati in modo che gli 



(') Rosati, loc. cit, n. 4; Scorza, loc. cit, n. 41 d). 



( 2 ) Mi sia qui consentito di ringraziare vivamente il prof. Scorza per i preziosi con- 

 sigli e per gli aiuti prestatimi nella ricerca di cui è oggetto questa Nota. 



( 3 ) E già noto che i complementari di uno stesso asse di una matrice riemanniana 

 sono tutti isomorfi tra di loro. Ved. Scorza, Meni, cit,, n. 43. 



