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assi dell' uno siano isomorfi a quelli corrispondenti dell'altro (*) : dunque 

 per l' isomorfismo delle matrici co e co' deve essere n -\- m = ri -f- fri e poi 

 gli assi (1) e (2) debbono distribuirsi in m -j- n coppie, ciascuna coppia con- 

 tenendo due assi isomorfi e appartenenti l' uno alla serie (1), l'altro alla 

 serie (2). Ma intanto, per l' isomorfismo di Ai e AI deve essere n = ri e 

 gli assi B lt j e B[j si debbono poter distribuire in n coppie di assi della 

 specie ora detta, dunque dovrà essere pure m — m' e poi gli assi B 2)h e B' 2;h 

 dovranno potersi distribuire anch'essi in m coppie della solita specie. 



Segue ( 2 ) che gli assi A 8 e A.' 2 sono, come volevasi, isomorfi. 



Nel teorema ora dimostrato è contenuto implicitamente quest'altro che, 

 in certo senso, può ritenersi come l' inverso della proposizione sulle matrici 

 riemanniaiie composte ultimamente invocata: 



, . . !«, o 



Se la matrice riemanniana composta 



o[ 



co[ 



è isomorfa alla ma- 



co t 



ed è «I isomorfa ad co[ , è anche co t 



trice riemanniana composta 

 isomorfa ad w' t . 



Benché evidente, non è forse inutile rilevare pure che se co ed co coin- 

 cidono, la proposizione stabilita si enuncia: 



Se due assi di una matrice riemanniana sono isomorfi,, sono tali 

 anche i loro complementari. 



2. È bene qui subito osservare che: la totalità degli assi di una ma- 

 trice riemanniana fra loro isomorfi, non è necessariamente formala da 

 tutti e soli i complementari di uno slesso, ossia che esistono matrici rie- 

 manniane possedenti coppie di assi non complementari tali che l'uno sia iso- 

 morfo ai complementari dell'altro asse. 



Si consideri, ad es.. una matrice riemanniana impura priva di assi iso- 

 lati, i cui assi puri, che sono tutti isomorfi fra di loro ( 3 ), siano del ge- 

 nere p' . Il genere della matrice sarà un multiplo di p' , poniamo rp' , e 

 due assi della matrice saranno isomorfi non appena avranno la stessa di- 

 mensione o, ciò che fa lo stesso, lo stesso genere ( 4 ). Ma allora, come è evi- 

 dentemente possibile, basta prendere due assi di questa matrice non indi- 

 pendenti, l'uno del genere sp' (con s intero e minore di r) e l'altro del 

 genere (r — s) p\ per avere due assi non complementari, ma tali che l'uno 

 sia isomorfo ai complementari dell'altro. 



3. Ciò posto, possiamo subito dimostrare che: 



Se un'omografia riemanniana di una matrice di Riemann è singo- 

 lare, ciascuno dei suoi due assi è isomorfo ai complementari dell'altro. 



(') Scorza, Mera, cir., n. 49. 



( 2 ) Scoila, Mera, cit, n. 27. 



( 3 ) Scorza, Meni, cit., n. 46. 



( 4 ) Scorza, Moni, cit., n. 50. 



