— 541 — 



E infatti, sia Sì un'omografia riemanniana singolare, di specie 2(p — q), 

 della matrice di Kiemann w di genere p, e siano S 2 * p _ 9) _! ed S 2<2 _i i suoi 

 assi, 1° e 2° rispettivamente, i quali sono anche assi della matrice. 



L'omografia Sì, degenere nello spazio ambiente, è invece non degenere, 

 ma sempre razionale, fra gli S 2(}) _ 9) della stella avente per centro S 2(p _ q) _i 

 ed i punti di S* 9 _i . Dunque Sì subordina fra un qualsiasi complementare 

 di S 2 *p_ 9) _! ed S 2 *_! una omografia razionale non degenere che muta i punti 

 del primo spazio situati sull'imagine della matrice, nei punti del secondo 

 situati sulla stessa imagine. 



Cioè, i complementari di Sj? ( p_ 9) _i sono isomorfi ad S^li; e allora, per 

 quanto è stabilito nel n. 1. anche i complementari di Sj*,_i sono isomorfi 



Viceversa: Se S 2 *j,_ Q) _i , S* 9 _i sono due assi di una matrice rieman- 

 niana ed è l'uno di essi isomorfo ai complementari dell'altro, detto h 

 l'indice di moltiplicabilità di S? 9 _,, esistono h -J- 1 , ma non più, omo- 

 grafie riemanniane linearmente indipendenti della matrice, singolari di 

 specie 2(p — q) aventi per primo asse S? (p _ 9) _i e per secondo asse 



S *tq-\ • 



Sia infatti S 29 _, un complementare di S* (p _ ql _i . Poiché S 29 _i è isomorfo 

 ad S 2? _! , l' indice di moltiplicabilità di S 29 _, è ancora h e \\ carattere si- 

 multaneo di S 2 * 9 _i ed S 29 _, è h -f- 1 ('); quindi esistono h -f- 1 , e non più, 

 omografie razionali indipendenti e non degeneri che portano S 2 *_i in S 29 _, 

 e che mutano lo spazio s 9 _i ( s*_0 di appoggio di S 2 *_i con l' imagine x (r) 

 della matrice, nello spazio s 9 _, (s 9 _i) di appoggio di S 2s _i con l' imagine 

 stessa. 



Ognuna di queste h-\-l omografie, moltiplicata a destra per la pro- 

 spettività tra S 29 _! e la stella di vertice S 2 %_ 9) _i , dà luogo ad una omo- 

 grafia, anch'essa razionale e non degenere, fra i punti di S^_i e gli S S(P - qì 

 passanti per S 2 * p _ 9) _i , la quale, a sua volta, ne determina una, singolare 

 di specie 2(p — q) , di S 2j0 _i in se stesso ed avente per primo asse S* ip _ q) _i 

 e per secondo asse S 2 *_i . E quest' ultima essendo una omografia riemanniana 

 per la data matrice, il teorema enunciato ne risulta dimostrato senz'altro. 



4. Sia ora Sì una omografìa di Kiemann, degenere o non, della matrice 

 riemanniana <w ed indichiamo con I l'omografia identica dello spazio rappre- 

 sentativo, che è anch'essa riemanniana. Le omografie $> = SÌ-\-Xl, con X 

 razionale, sono tutte omografie riemanniane della matrice co. Se Sì ha qualche 

 spazio di punti uniti razionale, questi spazii rispondono ad altrettante radici 

 razionali distinte dell'equazione caratteristica D(q) = della Sì, e sono assi 

 della matrice ( 2 ). 



(') Scorza, Mem. cit, n. 16. 

 ( a ) Scorza, Mem. cit., n. 23 



