il secondo fattore, che compare al quadrato, rappresenta i piani 

 tangenti alla curva C; 



il terzo fattore, che compare al cubo, rappresenta l'insieme delle 

 stelle che hanno per vertici i punti cuspidali della curva doppia; 



il quarto fattore, a cui è dovuto l'annullamento identico di F c , 

 è il fattore indeterminato : esso rappresenta un insieme di stelle i cui 

 centri appartengono alla C. ma sono del resto variabili dipendentemente 

 -dal modo di tendere al limite. 



Scopo della presente Nota è appunto quello di esaminare le circostanze 

 in cui avviene lo svanimento identico, e la relativa riduzione in fattori, 

 dell'inviluppo F c ; dalle quali circostanze seguono facilmente le note formule 

 numeriche che danno la classe della superficie f e e il numero dei suoi 

 punti cuspidali. 



2. Il problema della degenerazione dell'inviluppo di una superfìcie alge- 

 brica f, la quale acquisti una curva nodale C, è intimamente connesso al 

 problema della degenerazione dell'inviluppo di una curva piana dalla quale 

 si stacchi una patte (luogo) contata due volte; infatti i piani tangenti ad f 

 passanti per un punto, 0, dello spazio, inviluppano il cono che proietta il 

 contorno apparente di /, relativo ad 0: quando f acquista la curva nodale C, 

 dal suddetto cono si stacca come parte doppia il cono 0(C). Pertanto con- 

 viene esaminare a cosa si riduce X inviluppo di una curva piana k — 0, 

 d'ordine 2n -\- r , quando essa viene a spezzarsi in una c = 0, d'ordine n, 

 contata due volte, e in una parte residua, d'ordine r. h=0 ( 1 ). 



Supponiamo dapprima che la curva c non abbia singolarità e che in- 

 contri la curva h in nr punti distinti; allora se si considera la c*h = 

 come limite di una curva k variabile in un fascio c 2 h — U = 0, dove 1 = 

 è una curva generale d'ordine 2n -j- r , l'inviluppo limite di k si compone: 

 a) dell'inviluppo di h; 

 jS) dell'inviluppo di c, contato due volte; 



y) dei (2n-\-r)n fasci aventi come centri i punti base P, comuni 

 alla c ed alla l, ciascuno contato una volta; 



ó) degli nr fasci aventi come centri i punti Q comuni alla c ed 

 alla A, ciascuno contato tre volte. 



Le prime due asserzioni seguono subito ove si consideri il limite delle 

 tangenti alla curva variabile k condotte parallelamente all'asse y, i cui 

 punti di contatto sono dati dalle intersezioni di 



k(xy) = c\xy) h{xy) -}- U{xy) = 



(M La considerazione di una curva che si riduce ad una retta multipla, con certi 

 punti di diramazione, conservando cosi un inviluppo determinato, s'incontra in Zeuthen, 

 Lehrbuch der abzàhlendun Methoden der Geometrie, § 29, dove tuttavia non si trova 

 un'analisi del problema qui trattato. 



