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con la polare 



ìy i>y ^>y 



Per riconoscere invece che una tangente (almeno) va a cadere in cia- 

 scuno dei (2n + r)n punti P comuni a e e l, basta osservare che sopra 

 una retta p , passante per P , le curve del fascio c 2 h + 11 = segano una 

 g l tn+r che ha in P un punto fisso, il quale — per un noto teorema (*) — 

 appare doppio oltre che per il gruppo X = 0, anche per il gruppo infinita- 

 mente vicino. Segue che la retta p è limite di una tangente condotta alla k 

 da uno qualunque dei suoi punti. 



Resta ora da dimostrare che un punto Q, comune a c e fi, è limite 



~èk 



di tre intersezioni della curva k(xy) = con la sua polare — = 0. A tale 



v Isy 



oggetto poniamo X = z e consideriamo le due superficie 

 (p = e* (xy) h{xy) + s l{xy) = 



ip = 2c{xy) h(xy) — + c\xy) — + z = : 



queste hanno a comune oltre la curva piana c, una curva residua y, pas- 

 sante per Q. Le intersezioni di k e della sua polare che — per 1 = — 

 tendono a Q sono tante quante le intersezioni del piano z = A e della curva 

 c + y che tendono al punto Q; ma le intersezioni di c col piano z = l 

 restano fisse nei punti all'infinito di <?, sicché restano a considerarsi solo 

 le intersezioni di y. Ora la curva y, appartenendo alla superficie y> passante 

 semplicemente per Q e segata dal piano z = secondo una curva dotata 

 del punto triplo Q , ha tre intersezioni (almeno) riunite in Q col piano s = . 



Si esclude poi che per un punto P venga a passare più di una tan- 

 gente, e così pure più di tre per un punto Q, osservando che la classe 

 di k vale: 



(2» + r) (2n + r — 1) = 2n(n — 1) + r(r — 1) + {2a + r) n + dm . 



Ciò che si è detto si estende in generale, in qualunque modo vari la k, 

 e qualunque siano le particolarizzazioni di c,h; basta osservare che se k 

 tende a c 2 h in una serie continua 2, semplicemente infinita, l'inviluppo 

 limite di k non varia sostituendo a 2 il fascio determinato dalla c 2 h e 

 dalla k infinitamente vicina: inoltre all'inviluppo di c e h vanno sommati 

 i fasci corrispondenti ai loro punti multipli, e dall' inviluppo limite vanno 

 tolti invece i fasci relativi ai punti singolari della curva k. 



(') Cfr. Enriques-Cliisini, Teorìa geometrica delle equazioni, voi. I, libro 2°, § 5, 

 pp. 179-180. 



