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3. Veniamo ora all'esame dell'inviluppo, F c , di una superficie f c dotata 

 di una curva doppia C (che supporremo essere priva di singolarità e presen- 

 tare soltanto punti cuspidali ordinari per la f e ) ; considereremo f c come limite 

 di una superficie f , dello stesso ordine m, del resto generale. Si fissi nello 

 spazio un punto 0: il contorno apparente di f, vista da 0, sarà una curva K 

 (segata su f dalla polare del punto 0) d'ordine m(m — 1), la cui proie- 

 zione, fatta da è una curva, k, dotata di 



* 



\m(m — 1) (m — 2) (m — 3) 



nodi e di 



m(m — 1) (m — 2) 



cuspidi, corrispondenti alle bitangenti e alle tangenti principali che escono 

 da ('). Se n è l'ordine di C, il contorno apparente di f c sarà composto 

 della curva C. contata due volte, e di una curva residua, H, d'ordine 

 min — 1) — 2ir. sicché, quando f tende a /'<., la curva k si riduce a una 

 curva c, proiezione di C, contata due volte, più una curva h, proiezione 

 di H. Pertanto, in base a ciò che si è veduto al n. 2, possiamo dire che 

 quando f tende a f c ■ il suo inviluppo F si riduce al limite all'inviluppo 

 proprio di f c , più l'insieme dei piani tangenti a , contato due volte, 

 più un certo numero di stelle coi centri su C: un esame più minuto occorre 

 per riconoscere quali di queste stelle siano indipendenti dal modo con cui f 

 tende a f c , figurando così nel fattore determinato di F c , e quale ne sia la 

 relativa molteplicità. 



A tale oggetto si faccia tendere f ad f c entro un fascio f c -\- Xf = 0, 

 f = essendo una generica superficie d'ordine m. Ora, se un punto A di 

 è centro di una delle stelle che fan parte dell' inviluppo limite di f, la 

 sua proiezione A' , che — essendo generico ■ — possiamo supporre essere 

 un punto semplice della c, dovrà cadere in un punto P comune a c e 

 alla k (proiezione del contorno apparente della f c -\-dXf^ = 0) infinitamente 

 vicina alla <? 2 /j, oppure dovrà coincidere con un punto Q, intersezione di c 

 e h . Nella prima ipotesi si osserverà che la retta OA = OP risulta tangente 

 (impropriamente) alla f c e alla superficie infinitamente vicina f c -f- di f =0, 

 3Ìcchè la radice X = risulta doppia per l'equazione in X che serve a de- 

 terminare i gruppi dotati di punto doppio entro la g l m segata sulla OA dalle 

 superficie del fascio. Poiché la f c sega la retta OA secondo un gruppo di m 

 punti di cui due soli coincidono in A, gli altri restando fra loro distinti, 

 si deduce ( 2 ) che il punto A è un punto fìsso per la g l m suddetta, apparte- 

 nendo così alla superficie / . 



(') Formule di Salmon. Cfr. per es. Cremona, Preliminari di una teoria geome- 

 trica delle superficie, parte II, n. 67. 



( a ) Cfr. Enriques-CMsini, op. cit , ibidem. 



