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Pertanto le sielle A, appartenenti al fattore determinato di F c . hanno 

 il centro in punti la cui proiezione A' risulta un punto comune a c e h, 

 e quindi — essendo generico — un tale punto A è un punto comune 

 a C e a tutte le ce 3 curve H (segate su f c dalle sue polari): segue che 

 dette stelle hanno il centro nei punii cuspidali di . 



Per riconoscere poi che una stella A, col centro in un punto cuspidale 

 di G, figura esattamente tre oolte nel fattore determinato di F c , basterà 

 dimostrare che la proiezione di un tal punto è un punto A' =Q comune 

 a e e h, che non è limite di un punto doppio di k , e che in esso non 

 cade alcun punto P base per il fascio determinato dalla c*h e da una k a 

 questa infinitamente vicina. La prima affermazione segue dal fatto che la 

 retta OA non è bitangente uè tangente principale alla f c ; la seconda invece 

 si deduce osservando che — ■ in base al ragionamento svolto poco sopra — 

 se in A' cadesse un punto P, il punto A sarebbe un punto appartenente 

 alla curva base di un fascio f c -\-Xf n = in cui si supponga variare la f. 



E così l'enunciato del n. 1 è completamente stabilito, potendosi sempre 

 considerare la f c come limite di una superficie variabile in un fascio. 



4. Ove si vogliano applicare le considerazioni precedenti alla determi- 

 nazione della classe e del numero dei punti cuspidali di una superfìcie 

 /t==0, dotata di una curva doppia C, occorre anzitutto riconoscere con 

 precisione ove cadano i punti base comuni alla c 2 li e alla k a questa infini- 

 tamente vicina. A tale scopo si supponga la /' variabile entro il fascio 

 f e -j- X f = 0, e si consideri il fascio di curve determinato dalla k relativa 

 a una f generica e da quella relativa alla /' infinitamente vicina: questo 

 fascio di curve ha [m(m — 1)] J punti base dei quali 



2[±m(m — 1) (m — 2){m — 3)] 



cadono nei punti doppi di k, 3[_m(m — l)(m — 2)] nelle cuspidi di k, 

 e infine m 2 (m — 1) nei punti proiezione dei punti comuni al contorno appa- 

 rente di f e alla curva base del fascio di superficie f c -f- X f = . 



Le affermazioni precedenti seguono dal fatto (la cui scoperta si può 

 far risalire a De Jonquières) che due curve infinitamente vicine, dotate di 

 nodi e cuspidi, hanno due intersezioni riunite in ogni nodo e tre in ogni 

 cuspide (M. e dalla osservazione svolta innanzi che una tangente alla super- 

 ficie / in un punto della linea base del fascio è tangente anche alla / infi- 

 nitamente vicina. 



Ciò posto sulla curva c si distingueranno quattro specie di punti par- 

 ticolari : 



a) I punti A\ proiezioni dei punti cuspidali della curva C: in A' 

 la c e la h si tagliano senza oscularsi, e — come si è già osservato — 

 non si ha sovrapposizione di alcun punto P. 



(') Ofr. per es. Eiiriques-Chisini, op. cit., voi. I, pag. 328. 



