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/$) I punti B', proiezioni dei punti B comuni alla curva C e alla 

 curva H ulteriore intersezione di f e con la polare di (si escludono i 

 punti A). La retta OB avendo in B un contatto tripunto con la superficie f t , 

 B è un punto comune a e alla seconda polare di f, la quale ha ivi tre 

 intersezioni con la curva 2C-j-H, contorno apparente di f c \ pertanto i 

 punti B' sono in numero di n(m — 2) e ciascuno di essi è limite di 3 cuspidi 

 della curva variabile k\ inoltre in B' la c e la h sono fra loro tangenti 

 (essendo il piano per tangente alla H in B propriamente tangente alla f c ). 

 In un punto B' confluiscono due punti Q (ciascuno dei quali abbiamo visto 

 assorbire tre fasci dell' inviluppo limite di una cuTva che tenda a ^h) ; 

 essendo B' limite di 3 cuspidi di k (e quindi al limite centro di 9 fasci, 

 almeno) in esso devono cadere almeno 3 punti P. Si riconosce che cadono 

 esattamente 3 punti P osservando che la c i h ha proprio 9 intersezioni in B' 

 con la k infinitamente vicina, e che questa non può avere 4 intersezioni 

 con c senza averne 2 con h. 



y) I punti r\ che sono i punti comuni a e e h diversi dagli A' e 

 B': essi sono le traccie delle rette per incidenti a e tangenti (propria- 

 mente) altrove alla f c . Così appare che un punto JF" è limite di due punti 

 doppi della k, e — ■ tenuto conto che f è un punto Q — si riconosce, 

 come sopra, che in JT" cade uno e uno solo dei punti P. 



ó) I punti J\ doppi per la c. Ed è chiaro come ciascuno di questi 

 sia limite di 4 punti doppi della k e assorba 4 punti P. 



Poiché nessun altro punto di c può esser limite di un nodo e di una 

 cuspide della curva variabile k, gli altri punti P, diversi dai punti A',B', 

 r',J', sono gli mn punti proiezione delle intersezioni di C con la / . Si 

 deduce che i punti r' sono in numero di 



x — nm(m — 1) — n m — Sn (m — 2) — 4d , 



essendo d il numero dei punti doppi apparenti della curva C. 



Conosciuto così il numero dei punti doppi della curva k che cadono 

 sulla c (2x -\- M) e quello (Sn(m — 2)) delle cuspidi, si valuta immedia- 

 tamente la classe della curva residua h, cioè la classe di f c , che trovasi 

 essere espressa dalla formala 



m{m— 1)' — [_n(7m — 4n — 8) + 8d] ; 



similmente — in base ai numeri sopra determinati — si calcola il numero 

 dei punti A', e quindi quello dei punti cuspidali di C, che è 



y = n\m(m — 1) — 2n\ — 2n(m — 2) — x = 2n{m - n — - 1) + 



