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oo 2 proiettività tra fasci di rette che son contenute in un'omografia non 

 degenere tra neri. 



Per uu sistema lineare di ^-reciprocità ha importanza il tipo del 

 fascio generico iu esso contenuto; se m . m' sono gli spazi d'immersione 

 delle varietà costituite, in S» ed S' n , dagli spazi singolari delle reciprocità 

 di quel fascio, indicheremo il sistema col simbolo (m,m') h . Ci occuperemo 

 in questa Nota delle reti (1 , n — 1) , supponendo n^>2. 



2. Siano «, . a 2 , a 3 tre reciprocità della rete (fra loro linearmente indi- 

 pendenti), di punti singolari A x . A[ ; A 2 , A' 2 ; A 3 . A 3 ; che supporremo di- 

 stinti e non allineati sì in S„ che in S' n (')■ Alla retta r { j = AiAj deve 

 corrispondere, in a t ed aj, uno stesso iperpiano g'j, che passa per A\ ed A] ; 

 questi tre iperpiani, supposti in posizione generica, si segano a due a due 

 in tre S' n _ 2 : g[ , a' 2 , a' 3 . omologhi del piano o = A x A 2 A 3 in a x . a 2 , a 3 

 rispettivamente, ed hanno in comune uji S' n - 3 , ri (situato su o[ , a' 2 , a' 3 ) . 



In S n < il luogo dei punti singolari delle reciprocità della rete è il 

 piano o\ che risulta anzi riferito omograficamente alle reciprocità della rete; 

 perciò gli S' n _i omologhi d'un punto generico P di a nelle oo 2 reciprocità 

 della rete formano solo un fascio, di asse un S' n _ 2 passante per ri. Questo 

 sta sugli Só-i omologhi, in a, . a 2 , a 3 rispettivamente, delle rette PA t , 

 PA 2 , PA 3 , i quali, al variare di P in a. descrivono, intorno a <r[,c' 2 ,o 3 , 

 fasci proiettivi ai fasci di rette (di a) di centri A t , A 2 , A 3 ; e due di 

 queste proiettività individuano tra i punti di a e gli S' n -i per ri un'omo- 

 grafia w che contiene anche la terza. Viceversa, se questo fatto si verifica, 

 alle rette PA,- corrispondono, nelle tre proiettività anzidette, tre S' n ^i di 

 un fascio, e perciò P è singolare per una reciprocità della rete a 1 a 2 a 3 . 

 Dunque: Affinchè tre S a -reciprocità generiche ofj , <x 2 , u 3 tra & n , S n , di 

 punti singolari A { , A[ ; A% , A 2 ; A 3 , A 3 , determinino una rete (1 , n — 1) , 

 è necessario e sufficiente che i fasci di iperpiani omologhi, in a x , a 2 . a 3 

 rispettivamente, dei tre fasci di rette A x <s . A t <f , A 3 ff (con <r = A 1 A 2 A 3 ), 

 corrispondano a quei fasci in tre proiettività contenute in una stessa 

 omografia tra il piano a ed una stella oo 2 di iperpiani. 



3. Il luogo dei punti singolari in S' n è una superficie razionale F\ 

 incontrata in un sol punto variabile dagli S' n _ 2 passanti per ri, e che perciò 



( l ) Non ci fermiamo su casi troppo particolari. Così, se At ,A a , A a sono allineati, 

 tutte le reciprocità della rete fanno corrispondere alla retta AiA^An uno stesso <S" n _ t 

 passante per A\ , A\ , A' 3 ; allora, per re = 3 il luogo dei punti singolari, in S' a , delle 

 «So- reciprocità della rete è il piano omologo della retta AiA 3 A s ; mentre per w>3 è la 

 superficie (razionale), in generale di ordine \{n — 1) (n — 2), che si ottiene trasformando 

 (con «, , a fl , a 3 ) la stella degli S n —, di «S'n che passano per Ai At nelle stelle di rette 

 di S'n—i di centri A\ , A'a , A' 3 , e considerando il luogo dei punti per cui passano tre 

 piani omologhi di queste stelle: a uno di tali punti corrispondono infatti tre S n — i di S n 

 formanti fascio, e viceversa. 



