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si può proiettare biunivocamente da ri sul piano A\A[A' Z , ad es. Un S^-i 

 geuerico per ri corrisponde in co ad una retta di <r, quindi sega F' in una 

 Qin-i (i UO g <j e i punti singolari, in S' n . delle reciprocità di un fascio con- 

 tenuto nella rete), ed in una curva rissa c', giacente in ri. che ora deter- 

 mineremo (')• 



Osserviamo perciò che gli od"- 3 iperpiani di .S' (i passanti per a sono 

 mutati da a, , a 2 , a 3 nelle rette delle stelle di centri A[ . A' t . A' 3 e sostegni 

 rispettivamente a\ , a\ , a' % , le quali segano su ri tre S' n ^ omografici so- 

 vrapposti ; se esiste in ri un punto A' (di F') singolare per una reciprocità 

 della rete, i suoi tre S n -ì omologhi in ct l , a 2 , a 3 formano fascio intorno 

 ad un S n -2 passante per <r, al quale corrispondono in «,,a 2 ,«3 tre piani per 

 A'i,A' 2 ,A 3 , seganti ri in rette (omologhe nelle omografie anzidette e) pas- 

 santi per A'; e viceversa. Dunque c' è luogo dei punti per cui passano tre 

 rette omologhe di tre S^_ 3 omografici sovrapposti. Per determinarne l'ordine, 

 scriviamo le equazioni di tre S' n -i corrispondenti dei tre spazi omografici: 



(2 ) 2 u'i y, = , 2 Ut' m = . 2u'- ' y { = (i = , 1 , ... . n — 3) ; 



si rappresenterà l'omografia dando u'i,u'ì ,u't" come forme lineari di n — 2 

 parametri . t\ , ... , i n ~3 • per modo che le (2) divengono lineari nei para- 

 metri, coi coefficienti forme lineari delle yi. Sostituendo alle j/,- le coordinate 

 di un punto di c\ per il quale passino le rette omologhe r',r", r'". le equa- 

 zioni stesse devono essere verificate da u — 4 sistemi di valori delle U fra 

 loro linearmente indipendenti (perchè per r passano oo"- 5 iperpiani i cui 

 omologhi passano essi pure per il punto yì); e viceversa. Dunque le yt 

 annullano tutti i determinanti di 3° ordine della matrice (di 3 linee ed 



n — 2 colonne) dei coefficienti di / , t x <f„_ 3 ; ossia c' è. in generale, di 



ordine {{a — 2)(n— 3) ( 2 ); ed F' quindi di ordine 



{n — 1) -f- \{n — 2) (n — 3) = | n(n — 3) -f- 2 ( 3 ). 



(') Nel ragionamento che segue si supponga w > 4 . Per n = 3 , lo spazi" n' si 

 riduce ad un punto, che sta su F' , perchè ha per omologo il piano a in a, , « 2 . « 3 (anzi, 

 esso sarà singolare per oo 1 reciprocità della rete, formanti un fascio, contenente due 

 ^-reciprocità). Per n = 4 , n' ò una retta che sta su F', perchè ad ogni suo punto cor- 

 rispondono in «, , « 2 , « 3 tre S a passanti per a, quindi formanti fascio. 



( 9 ) Segre, Gli ordini delle varietà che annullano i determinanti dei diversi gradi 

 estratti da una data matrice, Rend. Lincei, (5) 9 9 (1900), pp. 253-260, n. 3. Si veda 

 pure: Cremona, Preliminari di una teoria geometrica delle superficie, §112; Lorenzola, 

 Sul luogo di un punto base comune a A + l sistemi lineari di forme di dimensione 

 h -J- 1 corrispondenti in altrettanti sistemi lineari omografici di specie k -\- h -}- 1 , 

 Rend. Ist Lomb , (2) 30 (1903), pp. 162-176. 



( 3 ) Da qui in poi si includano di nuovo i valori 3,4 di n, per i quali c' diviene 

 rispettivamente un punto od una retta. 



