— 556 — 



La curva C' n ~ x luogo dei punti singolari, in S' n , delle reciprocità del 

 fascio a, « 2 (che è generico entro la rete) si appoggia a c' in n — 2 punti, 

 perchè gli spazi a[ , a\ si corrispondono nella proiettività fra le stelle A[,A' S 

 che genera C'"~ l ; perciò proiettando F' da ri su un piano generico, le 

 oo* C' n ~ x di F' date dagli co* fasci della rete (le quali formano su F' una 

 rete oraaloidica), si proiettano nelle rette del piano, e le sezioni iperpiane 

 di F' in curve di ordine n — 1, incontrantisi a due a due in \n(n — 3) -|- 2 

 punti variabili. La curva e', che forma una sezione iperpiana di F' insieme 

 con una qualunque di quelle C' n ~ l , ha per immagine una curva di ordine 

 n — 2, y, segante le immagini delle sezioni iperpiane in \(n — 2) (n — 3) 

 punti variabili ed in \(n — 2) (n -j- \) punti fissi. Sono questi ultimi i 

 punti base del sistema lineare L rappresentativo di F'; ognuno di essi è 

 immagine d'una retta di F' , parte di ( oo 1 ) C' n ~ l della rete omaloidica, 

 perciò singolare per una S\ -reciprocità contenuta nella rete (la cui retta 

 singolare in S n è incidente al piano ff). 



Gli j (n — 2)(«-(-l) punti base del sistema L possono, in casi spe- 

 ciali (dipendenti da particolarità della curva c'), non essere distinti; possono 

 anche 3 o più di essi venir sostituiti da un punto base multiplo di L, ed 

 allora l'ordine di F' si abbassa; però F' è sempre normale, se no la curva 

 c' farebbe parte d'un sistema infinito di curve, ognuna delle quali starebbe 

 in un iperpiano con ciascuna delle oo 8 G' n ~ x della rete omaloidica. 



4. Viceversa, si prendano in un piano dei punti P, , P 2 Pj (distinti 



o no), e si assegnino per ciascuno delle multiplicità s t , s 2 , ... , Sj , in modo 

 che sia: 



2is t (s t + l) = £(» — 2) (n + 1), 



e che esista una curva di ordine ri — 2 , y , passante per essi con le date 

 multiplicità. Il gruppo base considerato rappresenterà \(n — 2) -f- 1) con- 

 dizioni lineari indipendenti anche per curve di ordine ^> n — 2; quindi 

 definirà un sistema lineare (regolare) di curve di ordine n — 1, di dimen- 

 sione: \(n — 1) (n-\- 2) — \{n — 2) (n-\- 1) = n, e di grado: [n — 1)* — 

 — 2"s 2 ; immagine di una superfìcie razionale normale F' di un S^. Su 

 questa esiste una curva di ordine (n — 1) (n — 2) — 2s\, di immagine y, 

 appartenente ad un S' n _ z ,ri, e gli iperpiani per ri segano su F' oo* C'"~ l 

 d'una rete omaloidica, ognuna delle quali ha n — 2 punti su ri. Costrui- 

 remo tra ed un S„ una rete di So-reoiprocità i cui punti singolari in Sn 

 abbiano per luogo F' . 



Perciò consideriamo le oo 3 "- 1 quadriche di S,[ passanti per ri; quelle 

 di esse che contengono due C' n ~ l generiche della rete omaloidica esistente 

 su I<" ed un punto generico ulteriore di F' sono sottoposte a 2w-j-2 con- 

 dizioni lineari indipendenti, per modo che le quadriche contenenti ri ed F' 

 sono al più oc"- 3 . D'altra parte, le quadriche per ri segano su F\ fuori 



