Data una superficie S, descriviamo attorno ad ogni suo punto P come 

 centro, e nel relativo piano tangente n , un circolo C di raggio R variabile 

 con P. Facciamo poi corrispondere a ciascuna faccetta f == {n , P) di S, 

 costituita da un piano n tangente di S e dal suo punto P di contatto, una 

 semplice infinità di faccette f' = {n\ P') trasformate, i cui centri P' siano 

 allogati sulla circonferenza C e i cui piani n' passino pel 'centro P di f, 

 e siano inclinati sul suo piano n di un medesimo angolo a (che sarà varia- 

 bile in generale col punto P di contatto). 



Domandiamo allora: Come deve assumersi la superficie S, e quale 

 deve essere la legge di variabilità pel raggio R e per l'angolo c, affinchè 

 le co* faccette trasformate f si distribuiscano in oo 1 superficie S' {tras- 

 formate di S)? , . 



Si vedrà che il problema così enunciato ammette soluzioni allora ed 

 allora soltanto che la S sia a curvature opposte ed appartenga alla classe A), 

 e in tal caso, rissata S, ammette oo 1 soluzioni, restando una costante arbi- 

 traria nelle equazioni di R e er. Ogni volta poi le superficie trasformate S' 

 aono ancora della classe A), e coincidono appunto con quelle a cui condu- 

 cono gli indicati metodi di trasformazione. 



2. Riferiamo la superfìcie data S ad un sistema coordinato curvilineo 

 {» , v), che supporremo per semplicità ortogonale ma del resto qualunque, 

 s si abbia nelle usuali notazioni (ved. Lezioni ecc., voi. II, § 254): 



PX a _ 1 ' ~i i/E x x DX 3 _ _ D_ x _ D^ x 



~èu j/G ~M> j/G 3 ' ~& t 7 E 1 t/'G 



~òv ' ì>v | e ^ u yE 



^X 2 1 -ò 1 G _ . D" 7)X 3 D' D^ 



— = — — Ai -+- ~= A3 , — Ai — Aj 



I Hv |/E ^ f/G fE f/G 



Scriviamo inoltre le relative equazioni di Codazzi 



(1) 



ù 



(2) 



/ D \ 2_/jy_\ 1 7) \ G D' 1 j f/E D" 



Dw\|/E / *«\f/E/ J/E "J>m f/G f/G ^ f/G 



/ D"\ _ ja_ / D'\ = 1_ Tj/G _D_ , _^ ì)|/E JD^ 



Vf/G/ ^Vj/G/ |/E" ^ f/E f/G ^ f/E 



e l'equazione di Gauss 



DD" — D'* TZ 

 (3) — ^r- = K, 



