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dove K indica la curvatura totale di Gauss : 



y 1 |/eg( ^Ve ~òu)^ìv\y G -òv )y 



Ora, attorno ad ogni punto P = (w , v) di S come centro e nel piano 

 tangente 7r, descriviamo un cerchio di raggio R, dove R è da pensarsi 

 cerne una funzione data di u,v, sia R=R(^,y). Le coordinate x',y',s' 

 di ogni punto P' del detto circolo saranno date dalla formola 



(4) x'=x + R(cos 0X, -f sen 0X 2 ) , 



colle due analoghe per y',z', significando ti l'angolo d'inclinazione del 

 raggio PP' sulla direzione (X',Y',Z'). Le (4) ci dànno le coordinate del 

 centro P' di una faccetta f\ e poiché il piano ri di questa passa per PP', 

 ^d è inclinato di un certo angolo a = a{u.v) sul piano n, i coseni di di- 

 rezione X',Y',Z' della normale a n' potranno assumersi dati dalla formola 



(5) X' = sen c(sen 0X, — cos 0X 2 ) -f- cos ffX 3 , 



colle altre due analoghe. 



Per risolvere il nostro problema conviene che nelle (4), (5) si pensino 

 Ree come funzioni date di u , v e si cerchi se è possibile scegliere per 

 una conveniente funzione di u , v e di una costante arbitraria c: 



e = e(u,v,e), 



per modo che si verifichino le due equazioni 



(6) SX' — = , SX' — = 0. 



v ' Du 7)0 



Queste esprimono infatti che le oo 3 faccette f si ordinano in oo 1 super- 

 ficie S\ date dalle (4), quando vi si ponga = 6(u ,v,c). 

 3. Se deriviamo le (4), osservando le (1), abbiamo: 



| 1x' l . 7)R _ / 7)0 17) |/E \ ; _ . 

 I = ] f/E -i cos — R sen — — — ) Xj + 



7>M \ 1 ~ ~ÒU \ÌU |/G ~àv / ) 



tì i t> al 1 * 6 1 , 

 -f- — sen + R cos 6 ( -= — - — ) . X » -\- 



'(7)0 ' \7)m |/G '•' 



-f- R | cos -4= -f- sen j X 3 , 



7)05' j 7)R / 7)0 . 1 7) t 7 G \ j v . 



= < — cos — R sen ( r- — = — - — ) X, + 



7>v \ 7>w \7>y |/E <>w / ^ 



, 7>R fl , -d „ /7)0 . 1 7>1/G\) Y 



-f- f G -j sen + R cos = — 1 — ) > X» ■+■ 



~\ ' ' ~òv ~ \2v 1 j/e 7w /j 1 



L D' D" ) 



f-f- R | cos -7= -J- sen -7= ? X, . 

 \ t/ E J/G J 



