Calcolando in fine la (8 S ), con riguardo alle (3), (3*), otteniamo 



K(^+l)=-^, 



cioè per la (7) 



(10) K = - . 



Quest'ultima forinola dimostra intanto che: 



Le soluzioni reali del problema sono da cercarsi soltanto fra le su- 

 perficie a curvature opposte (asintotiche reali). 



4. Proseguiamo nell'analisi del problema supponendo soddisfatte le con- 

 dizioni d'integrabilità (9), (10), nel qual caso il sistema (I) ammette una 

 soluzione 6(u,v,c) con una costante arbitraria, onde esistono oo 1 super- 

 ficie S' trasformate della S. Ciascuna di queste S\ insieme colla S. forma, 

 pei dati stessi del problema, la superficie focale della congruenza rettilinea 

 costituita dalle congiungenti PP' i punti corrispondenti di S , S\ e invero 

 la PP' è anche l'intersezione dei due piani tangenti ti , n' . 



Ora dimostriamo eli e sopra S , S' si corrispondono le asintotiche, che 

 cioè la congruenza è W. Per questo basterà provare (Lesioni, voi. II, § 243) 

 che la falda focale S ammette una flessione infinitesima nella quale ciascun 

 «no punto P si sposta nella direzione (X',Y',Z') della normale nel punto 

 corrispondente P' all'altra falda S'. 



Se con x <y ,s indichiamo le componenti dello spostamento (infinite- 

 simo) cercato, potremo porre per le (5). indicando T un fattore di propor- 

 zionalità 



(11) S = T(sen0X,— cos 0X e -f- ^X 3 ) , 



eolle analoghe y,Z. Si tratterà di determinare T in guisa da soddisfare 

 alle tre equazioni 



gH^O.S^^O, s ^^ + s^-^ = o. 

 ~òu ìu ~òv io ~òu 7>y ~òu 



Sostituendo in queste i valori (11), e tenendo conto delle forinole precedenti, 

 si trova che le condizioni per T si riducono alle due seguenti: 



Ì ^logT =A i D _ a D' _ a \ f/E 



(12) 



/ -IL sen 6 — cos d \ — cos 

 \f/E f/G ì R 



/ D' D" \ f/G 

 = A ( — = sen 6 -= cos \ — *-=- sen . 



Vt/E VG ) R 



Basta dunque provare che la condizione d'integrabilità per le (12) è 

 identicamente soddisfatta. A questo arriviamo nel modo più semplice ricor- 



