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dando che il sistema (I) ammette una soluzione 6 === 6(u , v , c) con una 

 costante arbitraria c . Se deriviamo le (I) rapporto ai parametro c, che 

 entra soltanto in f e poniamo 



DO 



li-*' 



/ D D' \ . j/E 



( —== sen — — == cos-0 i + cos 



Vie j/g / R 



D' D ' \ f/G 



sen 6 — — = cos 6 \ 4- sen 6 



ì/g r R 



\|/E 



Confrontando colle (12), vediamo che in effetto queste si soddisfano ponendo, 

 a meno di un fattore costante di proporzionalità 



T = i 



Ut 



5. Abbiamo cosi dimostrato che: la congruenza formata dalle con- 

 giungenti i punti corrispondenti di S , S' è una congruenza W, che ha 

 S , S' come falde focali. 



Ed ora potremo subito completare il risultato dimostrando che: le cur- 

 vature K , K' di S , S' in punti corrispondenti sono eguali. 



E infatti, siccome R rappresenta la distanza focale e <J l'angolo dei 

 piani focali, la formola di Ribaucour per le congruenze W (Lesioni, voi. Il, 

 § 243) ci dà 



KK '=(T)v 



dunque per la (10) sarà 



sen 2 a 



K=K = bT" 



A questo punto possiamo invocare i teoremi noti sulle congruenze W, 

 a falde focali di eguale curvatura, e dedurne che la curvatura di S, espressa 

 pei parametri a , /? delle asintotiche, avrà necessariamente la forma A) 



K=. 1 



Viceversa per ogni superficie S di questa classe il problema proposto 

 è risolubile, ed anzi in oo 1 modi poiché sappiamo che, una volta fissata S 



