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nella classe A), resta ancora nelle espressioni del raggio R e dell'angolo c 

 una costante arbitraria. 



Dopo ciò si vede che le forinole (9), (10) rappresentano, in coordinate 

 ortogonali qualunque, le condizioni necessarie e sufficienti affinchè una su- 

 perfìcie S appartenga alla classe A). Si avverta poi che, mentre la condi- 

 zione (10) dipende solo dall'elemento lineare di S , le altre due (9) con- 

 tengono invece elementi variabili per flessione. In generalo dunque una 

 superfìcie S della classe A) perde, se si flette, questa sua proprietà, salvo 

 nel caso ben noto delle superficie pseudosferiche, ove A ed R sono costanti 

 e le (9) si risolvono in identità. 



6. Nel numero precedente abbiamo invocato le proprietà note delle con- 

 congruenze W a falde focali di eguale curvatura per completare la risolu- 

 zione del nostro problema. Ma possiamo anche, senza ricorrere a queste, 

 proseguire coll'esame diretto delle condizioni 19), (10), e dedurne anzi, ih 

 nuovo modo, gli antichi risultati. Per questo conviene prima di tutto tras- 

 formare le (9) in coordinate curvilinee qualunque (u , y), che diano al ds* 

 la forma generale 



ds* = Edu* +• 2Fdu do -j- Gdv* . 



Semplici considerazioni invariantive dimostrano che le (9) si scrivono 

 nel modo più generale sotto la forma: 



D 'M_ D M 



7) / 1 \ l>u ~òv 



}« V R ' j/BG — F* 

 ( 1 ) 



7>v\R! j EG — F 2 

 mentre la (13), posto K = — — , si scrive sempre 



sen e 1 



R q R p sen a 



e si ha A — cot a . 



Ora se a linee coordinate prendiamo le asintotiche (a,/5), avremo 



D = D" = , , D - = -. 



f/EG — F 2 e 



onde le (13) diventano 

 (14) 



[ ~W ,1 I ÌQ 



\ — = cot - a - 



] ~ia 2 q ~òa 



! _ 1 1 ìq_ 



' Ì0~ g 2 ° ' Q V 



