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Qui la condizione d'integrabilità è semplicemente 



= . da cui 



Q = »(«) + W) , o K = — 



1 



\ 9 (a) + y,(fl)\> ■ 



Viceversa se o ha questa forma, le (14) sono completamente integrabili, e 

 però nella espressione di <r, indi di R. entra una costante arbitraria. 



Così abbiamo provato direttamente che per ogni superficie S della 

 «lasse A), e per queste soltanto, il problema proposto al n. 1 ammette 

 soluzioni, anzi ne ammette oc 1 . 



7. Dimostriamo da ultimo come questi risultati, ottenuti nell'ipotesi 

 dello spazio euclideo, si estendono facilmente alla geometria non euclidea, 

 dove il problema consente una risoluzione del tutto analoga. Eseguiamo qui 

 i calcoli pel caso dello spazio ellittico, la cui curvatura K si assumerà 

 semplicemente = 1 , e basterà poi indicare le leggiere variazioni da intro- 

 dursi nelle formole se lo spazio è invece iperbolico. 



Qui per utilizzare subito le formole date in altra mia Memoria (') rife- 

 riremo la superficie data S alle sue linee di curvatura (u,v), e indicheremo 

 con r x , r 2 i raggi principali (ridotti) di curvatura, legati ai [coefficienti E , G 

 del ds* = Rdu* -f- Gdv 2 dalle equazioni di Codazzi 



Indicando, come al n. 1, con R = li{u , v) il raggio del circolo, con 

 a = a(u . o) l'angolo d' inclinazione del piano delle faccette f sul piano 

 della corrispondente faccetta f=(u, v), ed avendo ancora il significato 

 del n. 2, dai calcoli eseguiti al § 1 della Memoria ora citata dedurremo 

 per l'incognita il sistema differenziale: 



e dalla relazione di Gauss: 



(16) 



/— t ti 



(' E cot R . sen fi — 1 — cot a . cos o 



r 2 



1_ 7) l/E 



(17) 



\J G cot R . cos — - — cot ti . sen 6 — 

 ri 



|/G ~*v 

 1 2\/G 



|/G ^ u 



( l ) Sopra alcune classi di congruenze rettilinee negli sparii di curvatura costante 

 (Annali di matematica, tomo X della serie 3*, 1904). 



