Per esprimere le condizioni d' illimilata integrabilità dovremo qui pone, 

 nelle notazioni del n. 3: 



l A = _ l^lcotff , B== l/E cotB , G= -L^ii?. 

 \ . ■ r, tv 



f A' = -t/GcotR , B' = -^cot<r , 0'=-^^ 



8 sostituire questi valori nelle (8). Le due prime ci danno, a causa delle (15): 



l /— 7) cot R _ f/E_ ~ò cot a 



^ ~òu r, 



(18) _ 



~ò cot R yG ~ò cot a 



I f E 



7)y r*. 



mentre la terza (8) diventa per la (16) 



(19) _L = _ se " 2<r . 



r, r 5 sen 2 R 



Questa ultima dice intanto che la curvatura relativa 



1 



r, r 8 



dalla superfìcie S deve essere negativa (asintotiche reali). 



8, Supposte soddisfatte le condizioni (18), (19), necessarie e sufficienti 

 per la solubilità del problema, avremo che le oo 3 faccette derivate /' si 

 distribuiranno in co 1 superficie trasformate S', e ciascuna di queste formerà 

 colla S, come al n. 5, le due falde della congruenza costituita dalle con- 

 giungenti PP' i punti corrispondenti. Dimostriamo anche qui che: sopra S,S' 

 si corrispondono le asintotiche [congruenza W). 



Per questo basterà provare che i coefficienti D,I>',D" della seconda 

 forma fondamentale della S' sono proporzionali ai corrispondenti della S , 

 che sussistono cioè le relazioni 



(20) D'=0 — D-— D"=0. 



Rendiconti. 1917, Voi. XXVI, 1° Sem. 



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