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Infatti, se le equazioni dell'affinità speciale sono 



X, = li X, 



(»== 1 ,2, 3) e X< = X 4 



assunta nello S 3 (X 



X 2 , X 3 ) una curva 



Xe = X,(«) 



tale che 



ogni cilindro per essa con le generatrici parallele ad X* è applicabile sul 

 corrispondente, senza essere affatto uguale ad esso. Tutte le curve nominate 

 si sanno costruire perchè si ottengono con l'affinità 



dalle curve isotrope dello spazio S 3 (XI , X 2 , X 3 ), 



Se poi la quadrica di uguaglianza si spezza in due piani, i piani tan- 

 genti debbono tutti incidere lungo rette uno di essi. Da ciò si deduce su- 

 bito che la superficie sta in S 3 ; siamo quindi nel caso di prima. Quindi: 



Neppure in due S 4 affini esistono superficie corrispondenti appli- 

 cabili {esclusi i cilindri inviluppati da piani uguali se l'affinità è speciale). 



5. In S 5 . Consideriamo in un punto della superficie il piano osculatore 

 ad una linea a prima curvatura invariante Anche questo è (oltre il 

 piano tangente) uguale al suo corrispondente: quindi l'affinità fra i due 

 piani fa corrispondere alla tangente e alla prima normale principale alla 

 curva gli elementi analoghi della curva trasformata. D'altronde, come ve- 

 dremo subito, l'angolo della prima normale principale detta con una tan- 

 gente assegnata è uguale al corrispondente: per l'osservazione fatta sull'affi- 

 nità, lo S 3 che congiunge il piano tangente al piano osculatore ad una curva 

 di prima curvatura invariante, è uguale al corrispondente. 



Da quanto abbiamo detto risulta che in ogni punto della superficie 

 esiste almeno uno S 3 uguale al corrispondente. Cioè la quadrica dello S< 

 all' 00 di S 5 che dà le direzioni d' uguaglianza contiene dei piani. 



Perchè ciò sia, la quadrica dev'essere specializzata. 



Se è specializzata una volta si compone di oo 1 S 2 per un punto: oo 1 

 di quegli S 3 passano per un S 2 , quindi oo 1 S 2 tangenti tagliano uno S 2 della 

 quadrica in rette e per ciò stanno in uno S 3 . Dunque la superficie ha oo* 

 curve in S 3 : ma i piani tangenti lungo una di esse stanno in S 3 , quindi 

 ogni S 3 contiene due di queste curve infinitamente vicine e, perciò, se la 



(') Basi analitiche ecc.. ultimo alinea del 11. 5. 



x;= yiì-1% 



