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e quelli della seconda a — - -j- X - — - (X è il parametro che individua la 



~òU ~~()V 



tangente fissata). Il coseno del loro angolo è funzione di X, di simboli del 

 primo ordine, di simboli dedotti del secondo ordine e del simbolo [2020] . 

 Per due superficie applicabili, siccome la rappresentazione è conforme, tan- 

 genti corrispondenti sono individuate dallo stesso valore di X: i simboli 

 nominati, eccetto al più [2020] , sono pure uguali per le due superficie. 

 Se poi la curva di cui trattasi è a prima curvatura invariante, anche [2020] 

 è invariante. 



Si ha dunque : 



In una deformazione di prima specie è invariante l'angolo che la 

 normale principale in un punto di una curva a prima curvatura inva- 

 riante forma con il piano tangente. 



Questa è l'osservazione già applicata al n. 5. 



Se poi la deformazione è di seconda specie, ogni curva conserva la 

 prima curvatura; quindi: 



In una deformazione di seconda specie è invariante l'angolo die 

 la normale principale ai una curva qualsiasi in un suo punto forma 

 col piano ivi tangente. 



8. Ricordiamo ora la definizione di spazio 7?-tangente, S(A), ad una 

 superficie in un suo punto ('): esso è lo spazio definito dal punto (Xj) 



stesso e dai suoi derivati ( — l -\ , (— -\ , ( ^' V.„ fino a quelli di or- 



\ ~òu ! \ ~òv ' \ ~òu % J " 



dine h. Lo S(li) contiene gli S h osculatori alle curve della superficie nel 

 punto, ma in generale non coincide col loro luogo. La sua dimensione per 

 h > 1 , ed escluse le ordinarie sviluppabili, è compresa fra h -f- 2 ed 



MAzt_ 51 . (j ue S(h) /i-tangenti in due punti successivi, si tagliano in 



a 



uno S(h — 1). 



Vogliamo dimostrare che in una deformazione di specie v fra due 

 superficie affini gli S(r) corrispondenti sono uguali. 



Consideriamo una curva qualsiasi di una superficie ed un suo punto, 

 la tangente ivi, il piano osculatore, . . . , lo S v osculatore. È subito visto 

 che questi spazi sono uguali ai corrispondenti. 



Gli S v osculatori alle curve di una superficie uscenti da un suo punto 

 formano un cono algebrico entro lo S(v), ma in generale non lo riempiono; 

 quindi 1' uguaglianza degli S v osculatori corrispondenti non basta, se lo S(v) 

 è abbastanza ampio, ad assicurare l'uguaglianza dei due S(r) corrispondenti. 



Pensiamo allora due curve uscenti da un punto della superficie, i loro S, 

 ivi osculatori e una retta in ciascuno di essi. L'angolo di queste rette di- 



(') Cfr. la mia Nota Sopra alcune estensioni dei teoremi di Meusnier e di Eulero 

 [Atti Acc. di Torino, voi. XLVTII, 1913], n. 5, ove questo spazio è indicato con S(h,0). 



