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pende dai parametri che servono a fissare ciascuna di esse entro il proprio S-, 

 e, come si vede subito, da simboli d'ordine <. v . 



Siccome quei due S v sono uguali ai corrispondenti nell'affinità, i para- 

 metri che individuano una retta entro uno di essi sono uguali a quelli che 

 individuano la retta corrispondente entro lo S v corrispondente. I simboli di 

 ordine < v rimangono invariati in una deformazione di specie r, quindi 

 gli angoli di quelle due rette sono invarianti per deformazione. Siccome 

 queste due rette sono arbitrarie, sempre per la stessa osservazione fatta sul- 

 l'affinità, anche lo spazio congiuugente quei due S v è uguale al corrispondente. 



Su questi nuovi spazi, uguali ai corrispondenti, ragioniamo come prima. 

 essi riempiono lo S(r) e allora questo è uguale al corrispondente; o essi 

 non riempiono lo S(r) e allora consideriamo due di quegli spazi e dimo- 

 striamo, come sopra, che il loro congiungente è uguale al corrispondente. 

 Con questo procedimento si vengono ad ampliare ogni volta la dimensione 

 degli spazi che si dimostrano uguali ai corrispondenti e il loro sistema. 

 Quando questo riempie lo S(v) allora la dimostrazione è terminata. 



9. Siamo giunti a questo; che gli S(r) tangenti a due superficie affini 

 ed applicabili di specie v in punti corrispondenti sono uguali. 



Quindi il cono quadrico passante per un punto della superficie data, 

 formato dalle rette uguali alle corrispoudenti, contiene lo S(v) tangente ivi 

 alla superficie. 



Se escludiamo il caso delle ordinarie sviluppabili, nel qual caso lo S(v) 

 è uno S v +i e ne esistono soli oo 1 per una superficie lo S(r) è almeno 

 un S v+2 : iti tal caso lo S(i> — 1) è uno S„ +1 (se v^>2; per v = 2 si 

 ha S(1) = S»). 



Il nostro problema ci porta dunque a questa domanda: 



Quand'è che la quadrica delle direzioni uguali nello S,- all' infinito 

 di S r+1 contiene ce 2 S v+1 e in tal posizione che quelli infinitamente vicini 

 ad uno di essi passano per uno S^ ? 



Applicando al nostro caso forinole note ( 2 ) nell' ipotesi che la quadrica 

 di S r non sia specializzata, si vede che ciò è possibile solo se r~^>2v -{-4 

 per v ]> 2 , e se r > 7 per v = 2. Quindi : 



In due spasi affini di dimensione j<2r-}-5, se l'affinità è gene- 

 rale, non esistono superficie applicabili di specie p(>2). 



Se v = 2 non esistono superficie applicabili in due spasi affini di 

 dimensione < 8 . 



_(') Per le sviluppabili il problema si risolve subito: basta cercare le curve di una 

 quadrica di S r i cui S v osculatori appartengono alla quadrica stessa; si trova subito che 

 dev'essere r >. 2v + 2. Del resto, dal punto di vista dell'applicabilità, le sviluppabili 

 costituiscono un caso banale il cui interesse è minimo. 



( 3 ) Bertini, Introduzione alla geometria pioiettiva degli iperspazi (Pisa, Spoerri 

 1907), pag. 131, nn. 17 c 18. 



