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Sostituendo nel secondo membro di questa eguaglianza, al posto dei 

 vettori u , le corrispondenti espressioni date dalla (6) e indicando con a 

 e fi' le omografie definite dalle (4) quando al posto di h si ponga — h , cioè 



(4'j «'^OT'-MhA)- 1 , ^' = (yt 1 — eììA)~\ 



risulta : 



j (<Pì Uj — <f \ u 2 ) X n . da = 



= — <° 2 \ j^Ni (a grad X grad g> 2 — a' grad (p 2 X grad (fi) -f- 



-f- N 2 (fi grad X grad <p t — fi' grad y 2 X grad (f>i)^ dS 

 ossia, per il teorema di commutazione: 



(11) {<fz «ì — spi u 2 ) X n >da — 



= ~ e * ' C Nl ( a — Ka ') + Ns (0 — K / s ') g rad & x g l ' ad »« ■ rfs . 



Dalla (11) segue cbe, se in ciascun punto del conduttore è soddisfatta 

 la condizione 



(12) N x (« — K«) -}- N 2 (fi — ~K.fi') = 



ossia, data l'arbitrarietà di Ni ed N 2 , sono soddisfatte le condizioni 



(12') a — K«' = ; /?— K/?'=0 



risulta : 



(13) j"(y 2 Ui — (jpi Uj) X n . da = 



eguaglianza perfettamente analoga a quella da cui il prof. Volterra ha de- 

 dotto il teorema di reciprocità per la lamina. 



Ora, perchè le (12') siano soddisfatte, qualunque sia il campo magne- 

 tico h , è necessario e basta ammettere che in ogni punto del campo, per 

 qualunque valore di ti , le omografìe y l e y 2 . che definiscono le proprietà 

 specifiche del conduttore, siano dilatazioni, ossia che si abbia 



(H) yi _K/, = y t -Ky e = 0. 



Ciò si dimostra molto facilmente, osservando che dalle (4) e (4') si ha: 



=n l — eh A ; fi- 1 = y 2 l -f- eh A 

 K«'-' = Kyr* — eh A ; Kfi'~ l = Kyr' + e li A 



