Inoltre ciascuno dei metodi (4) è più potente di tutti i seguenti ed è 

 meno potente di tutti i precedenti, poiché: 



Ogni serie sommabile (B , r) con somma u è anche sommabile 

 (B , r — 1) e con ugual somma (ma non viceversa). 



Tutto ciò assicura che i metodi (4) non sono contradittorii, nè col me- 

 todo classico di sommazione, nè tra di loro, e rende inoltre legittima la 

 seguente 



Definizione. Diremo che una serie è sommabile col metodo di Borei 

 generalizzato, e scriveremo è sommabile Bg , quando è sommabile con qual- 

 cuno dei metodi (4) (ed allora è sommabile con tutti i precedenti e con 

 ugual somma); e diremo somma della serie quella somma che tal metodo 

 le conferisce. 



ò. Evidentemente il nuovo metodo Bg è molto più potente del metodo 

 originario (B , 0) del Borei. 



Ma il fatto più notevole, e che lo rende passibile di larghissima ap- 

 plicazione, è che esso ammette tutto l'algoritmo delle serie assolutamente 

 convergenti ( l ), come risulta dai teoremi seguenti. 



I. Se delle due serie 



u t -f- Ui -j- u 2 -| , u -j- u x -f- 1- u n _ x -f- (u n -f- k) -j- «„+i -j 



una è sommabile (B , r) , tale è anche l'altra, e la somma della seconda 

 è uguale a quella della prima aumentata di k. 



II. Se delle due serie 



u + Ui + u t -f- • ■ • . ku -f- kui -j- kilt -f" " * ' (A =j= 0) 



una è sommabile (B , r) , tale ì anche l'altra, e la somma della seconda 

 è uguale a quella della prima moltiplicata per k. 



III. Se le due serie 



u + Mi + u * H ' v o + v i + v % H — 



sotto sommabili (B , r) e (B , s) ed hanno per somma n e v rispettivamente, 

 la serie 



(»o + »o)-H«i + »iH — 

 è sommabile (B , r) , se r s , ed ha per somma u -\- v. 



(') Lo stesso non può dirsi del metodo (B , 0) del Borei. Cfr. in proposito le nostre 

 recenti Note: Nuova trattazione del metodo di Borei per la sommazione delle serie 

 (Atti della R. Accad. delle Scienze di Torino, voi. LII, 1916-1917, pag. 67); Sul me- 

 todo di Borei per la sommazione delle serie (questi Rendiconti, voi. XXVI, serie 5*, 

 1° seni., fase. 3°). 



